Zeigen Sie, dass w1 linear unabhängig ist.

Question

a) Seien \( p_{0}, p_{1}, p_{2} \in \Pi_{2}(\mathbb{R}) \) mit

\( p_{0}(x)=1+x, \quad p_{1}(x)=1+3 x^{2}, \quad p_{2}(x)=1 . \)
Zeigen Sie, dass \( \left(p_{0}, p_{1}, p_{2}\right) \) eine Basis von \( \Pi_{2}(\mathbb{R}) \) bilden.

b) Seien \( v_{1}, v_{2}, v_{3} \in \mathbb{R}^{3} \) linear unabhängig und
\( w_{1}=v_{1}+v_{2}, \quad w_{2}=v_{2}+v_{3}, \quad w_{3}=v_{1}+v_{3} . \)
Zeigen Sie, dass \( \left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right) \) linear unabhängig ist.

Answer 1

Hallo

a) einfach zeigen dass die Linearkombination ap1+bp2+cp3  für ALLE x nur für a=b=c=0 gilt,

b) aus av1+bv2+cv3=0 nur für a=b=c=0 schließen dass auch Aw1+Bw2+Cw3=0 nur für A=B=C= 0 gilt. einfach so umschreiben  dass wieder vi jeweils addiert werden.

Gruß lul

Answer 2

a) Es ist dim \( \Pi_{2}(\mathbb{R}) \) = 3. Also bilden je drei

linear unabhängige Elemente von \( \Pi_{2}(\mathbb{R}) \) eine Basis.

\( p_{0}, p_{1}, p_{2} \) sind linear unabhängig, da aus

\( ap_{0},+bp_{1}+ cp_{2} \) = 0-Polynom folgt

a *(1+x)  + b*(1+3 x²) + c*1  = 0   für alle x∈ℝ   folgt

(a+b+c) +  a*x +  3bx² = 0

b=0 und a=0  und a+b+c=0  also auch c=0.

b)  Ansatz: \( x\cdot w_{1}+y\cdot w_{2}+z\cdot w_{3}=\vec{0} \)  Einsetzen:

==>    \( x\cdot (v_{1}+v_{2})+y\cdot (v_{2}+v_{3})+z\cdot(v_{1}+v_{3} )=\vec{0} \)

==>    \( (x+z) \cdot v_{1}+(x+y) \cdot v_{2}+(y+z) \cdot v_{3} =\vec{0} \)

\( v_{1}, v_{2}, v_{3} \) linear unabhängig

==>   x+z=0   ∧  x+y=0   ∧  y+z=0

==>    x=-z   ∧  y=-x ∧  y=-z

==>    x=-z   ∧  y=-x ∧  y=x

==>   -x=x  also x=0 und damit auch y=0 und z=0.

Also kann der 0-Vektor mittels \( \left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right) \)

nur dargestellt werden, wenn alle Faktoren 0 sind.

==>  \( \left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right) \) lin. unabhängig.