Aloha :)
Wir überlegen uns zunächst das Gegenteil, also für welche Werte \(a,b,c,d\) die beiden Vektoren \(a\vec u+b\vec v\) und \(c\vec u+d\vec v\) linear abhängig sind. Die beiden Vektoren sind linear abhängig, wenn sich der eine Vektor bis auf einen konstanten Faktor \(\lambda\) durch den anderen ausdrücken lässt:
$$a\vec u+b\vec v=\lambda(c\vec u+d\vec v)\quad\text{bzw.}\quad(a-\lambda c)\vec u=(\lambda d-b)\vec v$$Da \(\vec u\) und \(\vec v\) nach Voraussetzung linear unabhängig sind, kann diese Gleichung nur erfüllt sein, wenn die Koeffizienten beide Null sind:
$$a-\lambda c=0\;\;\land\;\;\lambda d-b=0\quad\text{bzw.}\quad\lambda c=a\;\;\land\;\;\lambda d=b$$Um das \(\lambda\) wieder los zu werden, mutlitplizieren wir die erste Bedingung mit \(d\) und die zweite mit \(c\):
$$\lambda cd=ad\;\;\land\;\;\lambda cd=bc$$Lineare Abhängigkeit besteht also, wenn $$ad=\lambda cd=bc\quad\text{bzw.}\quad ad=bc$$ gilt. Im Umkehrschluss besteht lineare Unabhängigkeit, wenn gilt:$$ad\ne bc$$
