\(w_1=v_1,\; w_2=v_2-k_2v_1,\; w_3=v_3-k_3v_2\)
zeigt, dass \(w_1,\, w_2, \, w_3 \in Span(v_1,v_2,v_3)\) sind, also
\(Span(w_1,w_2,w_3)\subseteq Span(v_1,v_2,v_3)\quad (1)\)
Andererseits haben wir
\(v_1=w_1 \in Span(w_1,w_2,w_3)\).
\(v_2=w_2+k_2w_1\in Span(w_1,w_2,w_3)\).
\(v_3=w_3+k_3v_2=w_3+k_3w_2+k_3k_2w_1 \in Span(w_1,w_2,w_3)\), also
\(v_1,v_2,v_3\in Span(w_1,w_2,w_3)\), folglich
\(Span(v_1,v_2,v_3) \subseteq Span(w_1,w_2,w_3)\quad (2)\)
\((1)\) und \((2)\) liefern die Gleichheit
\(Span(v_1,v_2,v_3)=Span(w_1,w_2,w_3)\).