MC. 1. Die Vektoren \( (i, 1,0), \quad(2+i, i, i), \quad(2 i,-1-i,-1) \) sind linear unabhängig im Vektorraum \( \mathbb{C}^{3} \) über \( \mathbb{C} \).
\( \square \) wahr \( \square \) falsch
MC. 2. Die Vektoren \( (i, 1,0), \quad(2+i, i, i), \quad(2 i,-1-i,-1) \) sind linear unabhängig im Vektorraum \( \mathbb{C}^{3} \) über \( \mathbb{R} \).
\( \square \) wahr \( \square \) falsch
MC. \( 3 . \) Es sei \( V \) ein Vektorraum über einem Körper \( K . \) Dann ist der Nullvektor \( 0 \in V \) nur durch die triviale Linearkombination darstellbar.
\( \square \) wahr \( \square \) falsch
MC. 4. Wir betrachten den Vektorraum \( V:=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f \) ist eine Abbildung \( \} \) über \( \mathbb{R} \). Dann sind die Vektoren \( \sin \in V \) und \( \cos \in V \) linear abhängig.
\( \square \) wahr \( \square \) falsch
MC. 5. Wir betrachten einen Vektorraum \( V \) über einem Körper \( K \). Weiter sei \( L \) ein Körper mit \( L \subset K . \) Dann ist \( V \) ein Vektorraum über \( L \) mit der Skalarmultiplikation \( \operatorname{auf} K \times V \) eingeschränkt auf \( L \times V \).
\( \square \) wahr \( \square \) falsch
Ich würde wie folgt ankreuzen:
1. falsch
2. falsch
3. falsch
4. falsch
5. wahr
Kommt das hin?
Allerdings bin ich mir besonders bei 1. und 2. unsicher. Hier habe ich mal das entsprechende Gleichungssystem aufgestellt und gelöst. Dann kommt raus λ1 = i2*λ2, λ3=i*λ2 und λ1 = i*λ3.
Stimmt das erstmal? Falls ja, heißt das doch, dass die Lambdas voneinander abhängig sind und damit auch die entsprechenden Vektoren linear voneinander abhängig, ganz egal über welchem Körper, oder?
