Lineare Unabhängigkeit beweisen sin(x),1

Question

Beweisen Sie, dass die folgenden Systeme von Funktionen R → R linear unabhängig sind:

(1) 1,sin(x), cos(x);
(2) 1,sin(x),sin(x)

Hat jemand vielleicht eine Idee wie man das beweisen soll? Ich finde leider nicht Mal Ansätze und verstehe nicht mal wie die Funktionen gemeint sind.
Dankeschön :) 

Answer 1

Du nimmst eine Linearkombination für die 0-Funktion

und schaust, ob alle Koeffizienten 0 sein müssen.

Beim 2. System sicher nicht

a*1 + b*sin(x) + c*sin(x) = 0 

gilt für alle x z.B.

auch für a=0 b=1 c=-1.

Aber beim ersten:

a*1 + b*sin(x) + c*cos(x) = 0    für alle x,

also auch x=0 dann hast du   a + c = 0

              x=pi              a - c = 0

              x=pi/2            a + b = 0

Also muss gelten a=c und in (1)  2a=0 , also a=c=0

mit der 3. gibt das c=0.

Also geht es nur für a=b=c=0

==> System ist lin. unabh.