Lineare Unabhängigkeit einer Menge von Funktionen

Question

Hi Leute!

Es geht um folgende Aufgabe:

Für eine Funktion \( \sigma \; : \; \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \) definiere

\( \mathcal{M} = span\{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \; | \;  f(x)= \sigma(wx), \; w \in \mathbb{R} \} . \)

Sei \(\sigma_n \in P_n\) (die "Aktivierungsenergie") ein Polynom vom Grad n mit

\( \sigma_n(x) = \sum \limits_{i=0}^{n}a_ix^i, \)

wobei \( a_i \neq 0 \) für alle \( i = 0, \; ..., \; n \) gelte.

Zeigen Sie, dass \( \mathcal{M}(\sigma_n) = P_n \) gilt.

Hinweis: Wählen Sie n+1 paarweise verschiedene Parameter \( w_i \) und zeigen Sie, dass die Funktionen \( \sigma_n(w_i \; \cdot) \) linear unabhängig

Erste Frage:

Dieser Punkt bei \( \sigma_n(w_i \; \cdot) \) bedeutet doch, dass das für alle x gilt oder?

Also zuerst:

Seien \( w_i \) für \( i = 0, \; ..., \; n \) und \( w_0 < w_1 < ... < w_n \) paarweise verschieden.

Jetzt bin ich mir nicht sicher, wie die lineare Unabhängigkeit zu zeigen ist.

Etwa so?:

\( \lambda_0 \sigma_0(w_0x)+\lambda_1 \sigma_1(w_1x)+...+\lambda_n \sigma_n(w_nx) = 0 \)

Denke das ist falsche, denn es soll ja gezeigt werden, dass die Funktionen \( \sigma_n(w_i \cdot) \) l.u. sind.

Oder ist es besser mit der Definition \( \sigma_n(x) = \sum \limits_{i=0}^{n}a_ix^i, \) zu arbeiten und wenn ja, würde das dann so aussehen?:

\( \sigma_n(w_i \cdot) = a_0 + a_1{x_1} + a_2{x_2}^2 + ... + a_n{x_n}^n = 0 \)

Bin euch schon mal sehr dankbar für zielführenden Input :D

Comments

Ok ich habe einen Ansatz, den ich nach dem Kochen und Essen dann aufschreibe ;)

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Also folgender Ansatz

Es ist ja zu zeigen, dass die Funktionen \( \sigma_n(w_i \; \cdot) \)  l.u. sind.


D.h. für alle Funktionen stelle ein LGS auf, mit:


\( \sigma_0(w_0x) = a_0w_0 = 0 \)

\( \sigma_1(w_1x) = a_0w_0 + a_1w_1x = 0 \)

\( \sigma_2(w_2x) = a_0w_0 + a_1w_1x + a_2w_2x^2 = 0 \)

...

\( \sigma_n(w_nx) = a_0w_0 + a_1w_1x + a_2w_2x^2 + ... + a_nw_nx^n = 0 \)

Das lässt sich als Matrix darstellen. Da es sich um eine untere Dreiecksmatrix handelt, ist die Determinante das Produkt der Diagonaleinträge. Und wenn die Determinate dieser Matrix \( \ne 0 \) ist, dann ist die lineare Unabhängigkeit gezeigt, d.h.:

\( det \begin{pmatrix} a_0w_0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0\\ a_0w_0 & a_1w_1x & 0 & ... & ... & 0 \\ a_0w_0 & a_1w_1x & a_2w_2x^2 & 0 & ... & 0 \\ ... \\ a_0w_0 & a_1w_1x & a_2w_2x^2 & ... & a_{n-1}w_{n-1}x^{n-1} & 0 \\ a_0w_0 & a_1w_1x & a_2w_2x^2 & ... & ... & a_nw_nx^n   \end{pmatrix} \ne 0 \)

\( \Rightarrow \)  lineare Unabhängigkeit

Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass \( a_i \ne 0 \) für alle \( i = 0, \; ..., \; n \), jedoch ist \( w \in \mathbb{R} \) und kann damit Null sein :(

Oh und x kann auch Null sein?

Hier weiß ich nun nicht weiter.

Ist mein Ansatz erstmal so richtig?

Answer 1

Hallo

du bist nicht konsequent:

σ1(w1*x)=a0w1+a1(w1x)^2  entsprechend die anderen.

2. warum sollten die σi einzeln 0 sein?

ihre Linearkombination soll nur 0 sein, wenn alle Koeffizienten 0 sind.

die Linearkombination  ist ein Polynom n ten Grades  wenn es für eine Kombination von λi 0 ist dann nur für maximal n verschiedene x, für alle anderen nicht, also gibt es die Koeffizienten  nicht, wenn nicht alle 0 sind,

Gruß lul

Comments

Hallo, danke für deine Nachricht!

Upps, der Fehler ist durch copy & paste entstanden.

Meinst du so?:

\( \sigma_n(w_i \; \cdot) = \lambda_0a_0w_0 + \lambda_1a_1w_1x + \lambda_2a_2w_2x^2 + ... + \lambda_na_nw_nx^n \overset{!}{=} 0 \)

Lineare Unabhängigkeit ist gegeben, wenn alle \( \lambda_i \) = 0 sind.