Äquivalenz zeigen : φ ist injektiv ⇔ (φ(v1), φ(v2), . . . , φ(vn)) ist linear unabhängig ⇔ dim(φ(V )) = n

Question

ich versuche diese Aufgabe zu Lösen:

Sei φ : V → W eine lineare Abbildung zweier K-Vektorräume. Ferner sei BV = (v1, v2, . . . , vn) eine Basis von n. Z.z.:

φ ist injektiv ⇔ (φ(v1), φ(v2), . . . , φ(vn)) ist linear unabhängig ⇔ dim(φ(V )) = n

Problem: Ich weiß nicht wie ich das Beweisen soll. Ich habe mir überlegt den Austauschsatz von Steinitz zu nutzen und eventuell es dann mit Induktion zu Beweisen, aber ich weiß nicht genau wie.. :r

Was mir klar ist, ist: Jede Linear unabhängige Menge von Vektoren hat höchstens n Elemente hat, aber das ist ja auch kein Beweis. Ich hoffe jemand kann mir weiter helfen. :)

Liebe Grüße

Answer 1

φ ist Injektiv   ==>  (φ(v1), φ(v2), . . . , φ(vn)) ist linear unabhängig

geht vielleicht so:

Sei φ injektiv und  v1,v2,...,vn eine Basis von V, also

insbesondere  v1,v2,...,vn  lin. unabh.

Sei  nun a1*φ(v1)+a2*φ(v2)+ . . . ,+an* φ(vn) = 0

==>    (legen Linearität von φ)   φ(a1*v1+a2*v2+....+an*vn)=0

==>  a1*v1+a2*v2+....+an*vn = 0 wegen Injektiv und  φ(0)=0 .

==>   a1=a2=….=an =0  da v1,v2,...,vn  lin. unabh.

zu:  (φ(v1), φ(v2), . . . , φ(vn)) ist linear unabhängig ==> dim(φ(V )) = n

etwa so:  (φ(v1), φ(v2), . . . , φ(vn)) erzeugen φ(V); denn sei w∈φ(V )

==> Es gibt v∈V   mit φ(v )=w und weil  v1,v2,...,vn eine Basis von V ist

gibt es a1,a1,...,an aus K mit a1*v1+a2*v2+....+an*vn = v

also  φ( a1*v1+a2*v2+....+an*vn ) = φ(v)=w

==> (linear!)   a1*φ(v1)+a2*φ(v2)+ . . . ,+an* φ(vn) = w

also w aus Span (φ(v1), φ(v2), . . . , φ(vn)) .

Da sie auch lin. unabh. sind, bilden sie eine Basis von φ(V ),

also   dim(φ(V )) = n.

zu   dim(φ(V )) = n ==>  φ ist injektiv

Mit  dim(φ(V )) = n   und  dim(V) = n  liefert

der Dim-Satz   dim(Kern(φ)) = 0  also  Kern(φ)) ={ 0 }

==>     φ ist Injektiv.

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Vielen Dank für die tolle Erklärung und Lösung!