Determinante einer Funktion

Question

Hallo Community,

wie bestimme ich die Determinante einer Funktion?

Aufgabe:

Sei \( f \) der Endomorphismus des \( \mathbb{R} \) -Vektorraums \( \mathbb{R}_{3}[T]:=\{p \in \mathbb{R}[T] ; \operatorname{deg} p \leq 3\}, \) der durch
$$ f(p):=T^{4} p^{\prime \prime}+\left(1-4 T^{3}\right) p^{\prime}+\left(1+6 T^{2}\right) p $$
gegeben ist, wobei \( p^{\prime} \) bzw. \( p^{\prime \prime} \) die erste bzw. zweite (formale) Ableitung bezeichnen. (Beachten Sie, dass \( f(p) \in \mathbb{R}_{3}|T| \) für alle \( p \in \mathbb{R}_{3}|T| \) pilt.) (a) Berechnen Sie det \( f . \) (b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von
\( f \cdot(\mathrm{c}) \) Bestimmen Sie zum einzigen ganzzahligen Eigenwert auch die Eigenvektoren.

Problem/Ansatz:

Determinante einer Funktion habe ich noch nie gesehen dachte dass geht nur in Matrizen. Muss ich etwa die Funktion in eine Matrix umwandeln? Und wie lautet die Formel dafür? Ansatz bzw. Formel reicht aus. Möchte nur das Thema verstehen. ^^

Answer 1

Mit \(p(T)=a+bT+cT^2+dT^3\) und \(a,b,c,d\in\mathbb R\) gilt $$f(p)=(a+b)+(b+2c)T+(6a+c+3d)T^2+(2b+d)T^3,$$oder in Matrixschreibweise$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&2&0\\6&0&1&3\\0&2&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}.$$In der Tat hat die Koeffizientenmatrix genau einen ganzzahligen Eigenwert, nämlich \(\lambda_1=1\). Der zweite reelle Eigenwert ist \(\lambda_2=1+2\sqrt[3\,]3\).

Comments

Und das ganze jetzt nur noch für die Ableitungen machen und dann ausrechnen dann wär ich fertig mit der Determinante oder?

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Und noch eine Frage: Wofür steht das T bzw. R3[T]? Habe das nicht richtig durchblicken können

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Habs endlich verstanden danke dir