Bestimmen Sie auf möglichst einfache Art Eigenwerte, Determinante und Spur der folgenden Matrizen.

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufgabe 3 (Eigenwerte, Definitheit der Matrizen) Bestimmen Sie auf möglichst einfache Art Eigenwerte, Determinante und Spur der folgenden Matrizen:
\( A=\left(\begin{array}{cccc} -5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 18 & -3 & 0 \\ -7 & 20 & 6 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc} -14 & -5 & 99 \\ 0 & 1 & -6 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right) \)
Bestimmen Sie zudem Definitheit der Matrix A.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Answer 1

Aloha :)

Für diese Aufgabe musst du nur folgende Regeln kannen:

(1) Bei einer Dreieckmatrix stehen die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen.

(2) Die Spur der Matrix ist die Summe der Eigenwerte.

(3) Die Determinate der Matrix ist das Produkt der Eigenwerte.

Daraus folgt sofort:

Matrix \(A\): Eigenwerte: -5, -2, -8, -1 | Spur: -16 | Determinate: 80

Matrix \(B\): Eigenwerte: 1, -3, 6 | Spur: 4 | Determinate: -18

Matrix \(C\): Eigenwerte: -14, 1, -2 | Spur: -15 | Determinate: 28

Die Matrix \(A\) ist negativ definit, da alle Eigenwerte negativ sind.

Die Matrizen \(B\) und \(C\) sind hingegen indefinit, da ihre Eigenwerte unterschiedliche Vorzeichen haben.