Aloha :)
Hier kannst du die Eigenwerte natürlich aufwendig über die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmen. Man sieht aber sofort einen Eigenwert und kann dann die anderen recht einfach bestimmen und dabei die beiden anderen Teilfaufgaben direkt miterledigen...
Bei der Matrix$$A=\left(\begin{array}{rrr}2 & -2 & 0\\-2 & 9 & 2\\0 & 2 & 2\end{array}\right)$$sieht man, dass die Summe der ersten und der letzten Spalte gleich \(\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}\) ist. Damit gilt:$$A\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$$
Wir können also einen Eigenwert \((\lambda_1=2)\) direkt angeben.
Nun musst du wissen, dass immer gilt
(1) Die Summe der Eigenwerte ist gleich der Spur der Matrix.
(2) Das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante der Matrix.
Dieses Wissen soll insbesondere durch die Art der Fragestellung abgefragt wrden.
Das heißt hier:$$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=13\quad;\quad \lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3=20$$
Da wir \(\lambda_1=2\) bereits kennen, reduziert sich das auf:$$\lambda_2+\lambda_3=11\quad;\quad\lambda_2\cdot\lambda_3=10$$Woraus sofort die beiden Eigenwerte \((\lambda_2=1)\) und \((\lambda_3=10)\) folgen.
Da alle Eigenwerte positiv sind, ist die Matrix positiv definit.
