Berechnen Sie die Eigenwerte der symmetrischen Matrizen A und B. Bestimmen Sie Definitheit der Matrix A und B.

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufgabe 6 (Eigenwerte, Definitheit der Matrizen) Berechnen Sie die Eigenwerte der symmetrischen Matrizen \( A=\left(\begin{array}{ll}1 & 4 \\ 4 & 7\end{array}\right) \) und \( B=\left(\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -3\end{array}\right) \).

Bestimmen Sie Definitheit der Matrix \( A \) und \( \operatorname{der} \) Matrix \( B \).

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Answer 1

Aloha :)

Für die Matrix \(B\) brauchst du nichts zu rechnen, weil bei einer Diagonalmatrix die Eigenwerte auf der Diagonalen stehen. Das heißt \(B\) hat den 3-fachen Eigenwert \((-3)\) und ist negativ definit, da alle Eigenwerte negativ sind.

Für die Matrix \(A\) kannst du die Eigenwerte ebenfalls direkt ablesen, denn:

(1) Die Summe der Eigenwerte ist die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen.

(2) Das Produkt der Eigenwerte ist die Determinante der Matrix.

Das bedeutet für die Eigenwerte:$$\lambda_1+\lambda_2=8\quad;\quad \lambda_1\cdot\lambda_2=-9$$und es ist sofort klar, dass \((\lambda_1=-1)\) und \((\lambda_2=9)\) die beiden Eigenwerte sind.

Da die Eigenwerte unterschiedliche Vorzeichen haben, ist die Matrix \(A\) indefinit.