A ∈ Gl(n,R) eine symmetrische Matrix. Zeige: Alle Eigenwerte sind ungleich 0.

Question

Sei A ∈ Gl(n,R) eine symmetrische Matrix. Man beweise:

Alle Eigenwerte sind ungleich 0.

Answer 1

A ∈ Gl(n,R)  heißt doch: A ist invertierbar.

Wäre 0 ein Eigenwert, dann gäbe es ein v≠0-Vektor  #

mit A*v = 0*v = 0-Vektor

Aus A*v =0-Vektor und der Existenz von A^{-1} folgt

A^{-1} * A * v = A^{-1} *0-Vektor

                v  = 0-Vektor im Widerspruch zu #

Mit symmetrisch hat das nichts zu tun, das ist bei allen A ∈ Gl(n,R)

so.