Berechnen Sie alle reellen Eigenwerte der Drehmatrix Dy und Eigenvektoren.

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufgabe 4 (Eigenwerte) Berechnen Sie alle reellen Eigenwerte der Drehmatrix
\( D_{y}=\left(\begin{array}{ccc} \cos \left(45^{\circ}\right) & 0 & \sin \left(45^{\circ}\right) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \left(45^{\circ}\right) & 0 & \cos \left(45^{\circ}\right) \end{array}\right) \)
Tipp: \( \cos \left(45^{\circ}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}, \sin \left(45^{\circ}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \)

Berechnen Sie die Eigenvektoren der Drehmatrix \( D_{y} \) zu den bestimmten reellen (nicht den komplexen) Eigenwerten.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Answer 1

Hallo

was hindert dich daran, das zu rechnen? Aber da es eine Drehmatrix ist weiß man eigentlich den einzigen Eigenvektor. Was bleibt bei einer Drehung erhalten?

Gruß lul

Comments

Hallo,

Genau das ist mein Problem, ich weiß nicht wie man die Eigenwerte für eine Drehmatrix bestimmen kann, für eine ,,normale‘‘ Matrix habe ich die Schritte verstanden.

Ich weiß auch nicht, was bei einer Drehung erhalten bleibt. Es wäre nett, wenn du mir erklären könntest, wie ich bei einer Drehmatrix vorgehen muss.

Vielen Dank im Voraus.

Sevi

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Hallo

eine Drehmatrix dreht den R^3 um eine Achse, hier die 2 te bzw y-Achse, also bleibt die fest, Eigenwert 1 und EV (0,1,0)^T

im übrigen setzt man die Werte von cos und sin ein und rechnet wie mit jeder beliebigen Matrix Eigenwerte und Eigenvektoren.

Gruß lul

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Hallo,

Ich habe jetzt die drei Eigenwerte berechnet, der erste Eigenwerte ist = 1. In der Aufgabenstellung steht, dass man die anderen Eigenvektoren nicht berechnen muss, weil diese komplexe Eigenwerte sind.

Das heißt ich muss den Eigenvektor für den Eigenwert = 1 berechnen, dabei habe ich etwas Schwierigkeiten. Kannst du mir weiterhelfen?

Vielen Dank im Voraus.

Sevi

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Hallo,

Ich habe jetzt gesehen, dass du den Eigenvektor von dem Eigenwert = 1 angeben hast. Aber wie berechnest du genau den Eigenvektor = (0,1,0)T ?

Vielen Dank im Voraus.

Sevi

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hallo

man sieht doch direkt, dass der Vektor in y Richtung auf sich abgebildet wird? (Die zweite Spalte ist das Bild des zweiten Basisvektors!)sonst musst du halt die Gleichung D*x=x lösen, was auch nicht schwer ist.

Gruß lul

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Hallo,

Kannst du mir sagen, wie man die Gleichung D*x=x bei der Aufgabe löst, ich soll das nämlich schriftlich lösen können. Ich habe es mehrmals selbst versucht, aber ich drehe mich im Kreis und komme nicht auf das Ergebnis.

Vielen Dank im Voraus.

Sevi

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Hallo,

Mir reicht eine handschriftliche Lösung, dann würde ich es auch verstehen und nachvollziehen können.

Vielen Dank im Voraus.

Sevi

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Hallo

kannst du wenigstens (D-E)*x=0 lösen, oder wenigstens sehen, dass es durch x=z=0 und y beliebig gelöst wird?

Gruß lul