Für welche reellen Werte Alpha, Beta hat die Matrix nur reelle Eigenwerte

Question

Aufgabe:

Für welche reellen Werte α,β hat die Matrix

A=\( \begin{pmatrix} 0 & i-1 \\ α-βi & 2 \end{pmatrix} \)  nur reelle Eigenwerte? Bestimmen  Sie im Falle reeller Eigenwerte die zugehörigen Eigenvektoren.

Problem/Ansatz:

Ich komm hier irgendwie nicht auf einen grünen Zweig. Ich komme mit dem komplexen Teil sehr wahrscheinlich nicht zurecht. Könnte mir das eventuell jemand Schritt für Schritt mal erläutern?

Das habe ich als Polynom λ²-2*λ+((1-i)*α-(1+i)*β) raus aber selbst da bin ich mir nicht 100% ob ich das richtig gemacht habe.

Freu mich über jede Hilfe.

freundliche Grüße

Comments

Beachte: reell und reelle hat auch zwei L. Ich habe das nun bei deiner Frage berichtigt.

Analog auch hier berichtigt: https://www.mathelounge.de/621489/fur-welche-reellen-werte-alpha-hat-die-matrix-die-eigenwerte

Answer 1

λ^2-2*λ+((1-i)*α-(1+i)*β) = 0 hat die Lösungen

-1 ±√ (  1 -  ((1-i)*α-(1+i)*β)      )

Damit das reell ist, muss  1 -  ((1-i)*α-(1+i)*β)  reell und nicht negativ sein.

1 -  (  (1-i)*α-(1+i)*β  )

=  1 -  (1-i)*α + (1+i)*β

=  1 - α+ ß + i*α +i*β

=  1 - α+ ß + i*(α +β)

Damit es reell ist, muss α +β = 0 sein , also α =  - β

und nicht negativ wenn  1 - α+ ß ≥ 0, also

                                       1 + 2ß ≥ 0

                                       1  ≥   - 2ß

                                      -0,5  ≤  ß  und α =  - β .

Das gibt die Eigenwerte  -1 ±√ (  1 -  ((1-i)*α-(1+i)*β)      )

                                      = -1 ±√ (  1 -  ((1-i)*(-ß)-(1+i)*β)      )

                                        = -1 ±√ (  1 + 2b     ).

Comments

Vielen Dank für diese genau aufschreiben die Gleichungen die du aufgeschrieben hast du ja durch das aus multiplizieren bekommen (was unter der Wurzel steht). Dann schreibst du "Damit es reel ist, muss α +β = 0 sein , also α =  - β sein" das ist soweit auch ncoh logisch für mich. Denn Schritt ab " und nicht negativ wenn  1 - α+ ß ≥ 0, also erschliesst sich mir gerade noch nicht. Könntest du das nochmal erklären?

Danke

                                    

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wenn es reell ist, dann ist ja α +β = 0 , also bleibt unter

der Wurzel nur   1 - α+ ß

und wenn man da α =  - ß einsetzt, dann ist es

                        1 + 2ß

und das darf nicht negativ sein, also

                1 + 2ß ≥ 0

Answer 2

Tipp: Gib einfach mal dein Polynom und die Matrix hier ein: https://www.wolframalpha.com/input/?i=λ%5E2-2*λ%2B((1-i)*α-(1%2Bi)*β)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=((0,+1-i),(a-b+i,2))

Unter der Wurzel müssen nun nichtnegative reelle Zahlen stehen.