Beweis der Formel für das Rotationsvolumen

Question

Aufgabe:

Hallo zusammen,

kann mir jemand eine Seite sagen, wo ich den Beweis für die Formel des Rotationsvolumens finde? Möglichst anschaulich und verständlich?

V=π·∫f(x)²dx

Entsteht die Formel aus der Volumenformel V=π·r²·h ?

Comments

Ein Schweizer Jesuit hat es aufgeschrieben.

Guldin: De centro gravitatis. Wien 1635-1641.

Answer 1

Hier https://www.uni-due.de/imperia/md/content/materialtechnik/vmath119.pdf

findest Du auf den ersten beiden Seiten eine saubere verständliche Herleitung.

Answer 2

Das Intervall \([a,b]\) über das das Volumen bestimmt werden soll wird in \(n\) Teilintervalle zerteilt.

In jedem Teilintervall wird das Rotationsvolumen durch einen Zylinder angenähert. Ein solcher Zylinder hat das Volumen \(\pi\cdot f(\xi)^2\cdot \Delta x\) wobei \(\xi\) aus dem Teilintervall stammt und \(\Delta x\) die Breite des Teilintervall ist.

Die Volumina der Zylinder werden aufsummiert. Dann kann \(\pi\) ausgeklammert werden. Anschließend wird der Grenzwert der Summe für \(n\to \infty\) bestimmt. Dieser Grenzwert ist \(\int_a^{b}f(x)^2\mathrm{d}x\).

Entsteht die Formel aus der Volumenformel V=π·r²·h ?

Ja, die spielt da mit rein.

Comments

Kannst du mir noch genau sagen, wie die Volumenformel V=π·r2·h in den Beweis mit reinspielt?

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Er spricht doch in seiner Antwort von Teilzylindern. Jetzt überleg mal selbst, wie die Formel da also mit reinspielt.

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In dem Ausdruck \(\pi\cdot f(\xi)^2\cdot \Delta x\) ist \(f(\xi)\) der Radius des Zylinders und \(\Delta x\) die Höhe.

Answer 3

Aloha :)

Wir betrachten einen beliebigen Punkt der Funktion an der Stelle \(x\), der Funktioswert an dieser Stelle ist \(f(x)\). Bei der Rotation des Graphen der Funktion um die \(x\)-Achse beschreibt dieser Punkt einen Kreis um die \(x\)-Achse herum. Der Radius dieses Kreises ist gleich dem Funktionswert, d.h. \(r=f(x)\). Die Fläche dieses Kreises ist daher \(\pi\cdot r^2=\pi\cdot f^2(x)\).

Wenn wir nun die Flächen aller dieser Kreise summieren, die bei der Rotation der Funktion im Bereich von \(x\in[a;b]\) entstehen, erhalten wir das Rotationsvolumen:$$V=\int\limits_a^b\pi\cdot f^2(x)\,dx=\pi\int\limits_a^bf^2(x)\,dx$$

Comments

Wenn man Flächen summiert, erhält man -auch in der Maßeinheit - eine Fläche und kein Volumen. Im übrigen handelt es sich um überabzählbar viele, was soll da eine Addition sein?

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Vielleicht kann man das so etwas besser ausdrücken:

Genauer geht es um die Summe aller n --> unendlich Kreisscheiben im Intervall von [a; b] mit der Dicke dx = (b - a)/n --> 0.

Wobei eine einzelne Kreisschreibe an der Stelle x das Volumen v(x) = pi·(f(x))^2·dx besitzt.

Ansonsten würde ich mich über konstruktive Verbesserungsvorschläge freuen.

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Verbesserungsvorschläge entnimmt man den vorhergehenden Antworten.

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Die Kreisscheibe mit der Fläche \(\pi\cdot f^2(x)\) bekommt beim Integrieren eine infinitesimale "Dicke" \(dx\). Daher ist \(\pi\cdot f^2(x)\cdot dx\) das infinitesimale Volumen der Kreisscheibe. Durch die Integration werden diese infinitesimalen Volumina addiert.

In der Physik ist das eine gängige Herangehensweise, vielleicht hätte ich das noch schreiben sollen ;)