Beweis der Formel für das Rotationsvolumen

Question

Aufgabe:

Hallo zusammen,

kann mir jemand eine Seite sagen, wo ich den Beweis für die Formel des Rotationsvolumens finde? Möglichst anschaulich und verständlich?

V=π·∫f(x)²dx

Entsteht die Formel aus der Volumenformel V=π·r²·h ?

Comments

Ein Schweizer Jesuit hat es aufgeschrieben.

Guldin: De centro gravitatis. Wien 1635-1641.

Answer 1

Hier https://www.uni-due.de/imperia/md/content/materialtechnik/vmath119.p…

findest Du auf den ersten beiden Seiten eine saubere verständliche Herleitung.

Answer 2

Das Intervall $[a,b]$ über das das Volumen bestimmt werden soll wird in $n$ Teilintervalle zerteilt.

In jedem Teilintervall wird das Rotationsvolumen durch einen Zylinder angenähert. Ein solcher Zylinder hat das Volumen $\pi\cdot f(\xi)^2\cdot \Delta x$ wobei $\xi$ aus dem Teilintervall stammt und $\Delta x$ die Breite des Teilintervall ist.

Die Volumina der Zylinder werden aufsummiert. Dann kann $\pi$ ausgeklammert werden. Anschließend wird der Grenzwert der Summe für $n\to \infty$ bestimmt. Dieser Grenzwert ist $\int_a^{b}f(x)^2\mathrm{d}x$.

Entsteht die Formel aus der Volumenformel V=π·r²·h ?

Ja, die spielt da mit rein.

Comments

Kannst du mir noch genau sagen, wie die Volumenformel V=π·r2·h in den Beweis mit reinspielt?

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Er spricht doch in seiner Antwort von Teilzylindern. Jetzt überleg mal selbst, wie die Formel da also mit reinspielt.

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In dem Ausdruck $\pi\cdot f(\xi)^2\cdot \Delta x$ ist $f(\xi)$ der Radius des Zylinders und $\Delta x$ die Höhe.

Answer 3

Aloha :)

Wir betrachten einen beliebigen Punkt der Funktion an der Stelle $x$, der Funktioswert an dieser Stelle ist $f(x)$. Bei der Rotation des Graphen der Funktion um die $x$-Achse beschreibt dieser Punkt einen Kreis um die $x$-Achse herum. Der Radius dieses Kreises ist gleich dem Funktionswert, d.h. $r=f(x)$. Die Fläche dieses Kreises ist daher $\pi\cdot r^2=\pi\cdot f^2(x)$.

Wenn wir nun die Flächen aller dieser Kreise summieren, die bei der Rotation der Funktion im Bereich von $x\in[a;b]$ entstehen, erhalten wir das Rotationsvolumen:$$V=\int\limits_a^b\pi\cdot f^2(x)\,dx=\pi\int\limits_a^bf^2(x)\,dx$$

Comments

Wenn man Flächen summiert, erhält man -auch in der Maßeinheit - eine Fläche und kein Volumen. Im übrigen handelt es sich um überabzählbar viele, was soll da eine Addition sein?

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Vielleicht kann man das so etwas besser ausdrücken:

Genauer geht es um die Summe aller n --> unendlich Kreisscheiben im Intervall von [a; b] mit der Dicke dx = (b - a)/n --> 0.

Wobei eine einzelne Kreisschreibe an der Stelle x das Volumen v(x) = pi·(f(x))²·dx besitzt.

Ansonsten würde ich mich über konstruktive Verbesserungsvorschläge freuen.

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Verbesserungsvorschläge entnimmt man den vorhergehenden Antworten.

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Die Kreisscheibe mit der Fläche $\pi\cdot f^2(x)$ bekommt beim Integrieren eine infinitesimale "Dicke" $dx$. Daher ist $\pi\cdot f^2(x)\cdot dx$ das infinitesimale Volumen der Kreisscheibe. Durch die Integration werden diese infinitesimalen Volumina addiert.

In der Physik ist das eine gängige Herangehensweise, vielleicht hätte ich das noch schreiben sollen ;)