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Aufgabe:


(a) Für welche Werte von αR \alpha \in \mathbb{R} ist die Matrix
B=(4α+22α3α+1) B=\left(\begin{array}{cc} 4 & \alpha+2 \\ 2 \alpha-3 & \alpha+1 \end{array}\right)
symmetrisch?
(b) Zeige, dass die Matrix
C=(1/23/23/21/2) C=\left(\begin{array}{cc} 1 / 2 & -\sqrt{3} / 2 \\ \sqrt{3} / 2 & 1 / 2 \end{array}\right)
orthogonal ist. Gib auch ihre Inverse an.




Problem/Ansatz:

ich verstehe nicht ganz wie ich da vorangehen soll.  Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.

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2 Antworten

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Beste Antwort

  1. Löse die Gleichung 2α3=α+22\alpha -3 = \alpha +2 , denn dann ist die Matrix symmetrisch.
    Zur Erinnerung: Symmetrische, reelle 2x2 Matrizen haben die Form (abbc)\bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\b & c\end{smallmatrix}\bigr) mit a,b,cRa,b,c\in\mathbb{R}.
  2. Berechne CCTC\cdot C^T, wenn dabei die Einheitsmatrix E=(1001)E=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}\bigr) herauskommt, ist die Matrix orthogonal. Hinweis: CTC^T ist die transpornierte Matrix, die Zeilen und Spalten sind vertauscht.
    Alternativ kannst du überprüfen, ob die Spaltenvektoren orthogonal sind oder die Determinante det(C)=±1\operatorname{det}(C) =\pm 1 ist. In beiden Fällen ist die Matrix auch orthogonal.
    Das Inverse einer Matrix kannst du mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus bestimmen.

Nur zum Vergleichen deiner Lösungen:

a) a=5a=5
b) CCT=(1001)C\cdot C^T=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}\bigr) (ist orthogonal) und C1=CT=(1/23/23/21/2)C^{-1}=C^T=\bigl(\begin{smallmatrix}1/2&\sqrt{3}/2\\-\sqrt{3}/2&1/2\end{smallmatrix}\bigr)

Avatar von 2,1 k

Vielen vielen Dank, habe ich alles verstanden, nur ein Hindernis mit der Inverse. Da bräuchte ich nochmal Hilfe.

Gruß

Gerne, was hast du beim Inversen nicht verstanden?

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was bedeutet es denn, wenn eine Matrix symmetrische ist? Welche besondere Eigenschaft hat die dann?

Avatar von

Sorry, nun habe ich dir das schon in meiner Antwort vorweggenommen.

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