Für welche Werte von \alpha \in \mathbb{R} ist die Matrix symmetrisch?

Question

Aufgabe:

(a) Für welche Werte von \( \alpha \in \mathbb{R} \) ist die Matrix
$$ B=\left(\begin{array}{cc} 4 & \alpha+2 \\ 2 \alpha-3 & \alpha+1 \end{array}\right) $$
symmetrisch?
(b) Zeige, dass die Matrix
$$ C=\left(\begin{array}{cc} 1 / 2 & -\sqrt{3} / 2 \\ \sqrt{3} / 2 & 1 / 2 \end{array}\right) $$
orthogonal ist. Gib auch ihre Inverse an.

Problem/Ansatz:

ich verstehe nicht ganz wie ich da vorangehen soll.  Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.

Answer 1

1. Löse die Gleichung \(2\alpha -3 = \alpha +2 \), denn dann ist die Matrix symmetrisch.
   Zur Erinnerung: Symmetrische, reelle 2x2 Matrizen haben die Form \(\bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\b & c\end{smallmatrix}\bigr)\) mit \(a,b,c\in\mathbb{R}\).
2. Berechne \(C\cdot C^T\), wenn dabei die Einheitsmatrix \(E=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}\bigr)\) herauskommt, ist die Matrix orthogonal. Hinweis: \(C^T\) ist die transpornierte Matrix, die Zeilen und Spalten sind vertauscht.
   Alternativ kannst du überprüfen, ob die Spaltenvektoren orthogonal sind oder die Determinante \(\operatorname{det}(C) =\pm 1\) ist. In beiden Fällen ist die Matrix auch orthogonal.
   Das Inverse einer Matrix kannst du mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus bestimmen.

Nur zum Vergleichen deiner Lösungen:

[spoiler]

a) \(a=5\)
b) \(C\cdot C^T=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}\bigr)\) (ist orthogonal) und \(C^{-1}=C^T=\bigl(\begin{smallmatrix}1/2&\sqrt{3}/2\\-\sqrt{3}/2&1/2\end{smallmatrix}\bigr)\)

[/spoiler]

Comments

Vielen vielen Dank, habe ich alles verstanden, nur ein Hindernis mit der Inverse. Da bräuchte ich nochmal Hilfe.

Gruß

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Gerne, was hast du beim Inversen nicht verstanden?

Answer 2

was bedeutet es denn, wenn eine Matrix symmetrische ist? Welche besondere Eigenschaft hat die dann?

Comments

Sorry, nun habe ich dir das schon in meiner Antwort vorweggenommen.