Beweis invertierbare Matrix im R

Question

Aufgabe:

Sei \( R=Z Z^{\top} \in \mathbb{R}^{n \times n} \) eine invertierbare Matrix, \( Z \in \mathbb{R}^{n \times n} \) und \( f \in \mathbb{R}^{n} \) ein Vektor. Sei weiter \( s=f^{\top} R^{-1} f \) und \( g=R^{-1} f . \) Zeigen Sie:

(a) \( Z \) ist invertierbar.

(b) \( s=0 \Leftrightarrow f=0 \)

(c) Für \( f \neq 0 \) gilt \( \left[\begin{array}{cc}{R} & {f} \\ {f^{\top}} & {0}\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{R^{-1}-g s^{-1} g^{\top}} & {g s^{-1}} \\ {s^{-1} g^{\top}} & {-s^{-1}}\end{array}\right] \)

Answer 1

$$  \mathbf{ Zu \ a)}  $$

$$ \det(R) = \det(Z Z^T) = ( \det(Z) )^2 \ne 0 $$ Daraus folgt \( \det(Z) \ne 0 \) und deshalb ist \( Z \) invertierbar

$$  \mathbf{ Zu \ b)}  $$

Weil \( Z \) invertierbar ist, folgt \( R = (Z^{-1})^T Z^{-1} \) und damit $$  s = f^T (Z^{-1})^T Z^{-1} f = ( Z^{-1} f )^T ( Z^{-1} f ) $$ Sei \( h = Z^{-1} f \) dann gilt \( s = h^T h \) Gilt also \( s = h^T h = \sum_{i=1}^n h_i^2= 0 \), dann folgt \( h_i = 0 \), also \( h = 0 \) und damit $$  Z h = 0 = f $$ Falls \( f = 0 \) gilt folgt sofort \( s = 0 \)

$$  \mathbf{ Zu \ c)}  $$

$$ \begin{pmatrix} R^{-1} - g s^{-1} g^T & g s^{-1} \\ s^{-1} g^T & -s^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R & f \\ f^T & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I - g s^{-1} g^T R + g s^{-1} f^T & R^{-1} f - g s^{-1} g^T f \\ s^{-1} g^T R - s^{-1} f^T & s^{-1} g^T f \end{pmatrix}  $$

$$  \mathbf{ Element  \ (2,2) }  $$ Wegen \( g^T f = f^T R^{-1} f = s \) folgt \( s^{-1} g^T f = 1 \)

$$  \mathbf{ Element  \ (2,1) }  $$ Wegen \( s^{-1} ( g^T R - f^T)  \) und \( f^T = g^T R \) folgt \(  s^{-1} ( g^T R - f^T) = 0 \)

$$  \mathbf{ Element  \ (1,2) }  $$ Wegen \( R^{-1} f - g s^{-1} g^T f = g - g s^{-1} g^T f = g - g = 0 \)

$$  \mathbf{ Element  \ (1,1) }  $$ Es gilt \( I - g s^{-1} g^T R + g s^{-1} f^T = I - g s^{-1} f^T + g s^{-1} f^T = I   \)