Mit einem reellen Parameter a sei A die Matrix

Question

$$ \begin{pmatrix} a&1&1\\ 2&-2&2\\ 1&0&a \end{pmatrix} $$

a) Für welche Werte von a ist A invertierbar?

b) Für welche Werte von a ist det(A) = –1?

c) Es sei jetzt a = 0. Berechnen Sie die Determinante der Matrix A · (A^-1 + A)

Weihnachtliche Grüsse Tommy

Answer 1

Hi

Wir bilden mit dem Gaußalgorithmus die obere Dreiecksmatrix von A und lösen damit die Aufgabenteile a) und b).

a)
A ist invertierbar, wenn Rg(A) = 3 ist.
Kriterium Nr. 4
http://unimath.de/eine-matrix-ist-invertierbar-wenn/

Das ist der Fall, wenn der Term -a^2 - a + 2 ungleich Null ist.
Der Term wird für a = -2 oder a = 1 Null, daher ist für alle anderen a ∈ ℝ die Matrix invertierbar.

b)
det(A) = 1*(-1)*(-a^2-a+2)*2*(-1) = 2(-a^2-a+2)
https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren_zur_Determinantenberechnung

2(-a^2 - a + 2) = -1 ==> a₁ = √(11)/2 - 1/2, a₂ = -1/2 - √(11)/2

 
c)
$$A\cdot \left(A^{-1}+A  \right) = \\A\cdot A^{-1} + A\cdot A= \\\begin{pmatrix} 1&  0&0 \\0  &1  &0 \\ 0 &0  &1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a& 1 &1 \\2  &-2  &2 \\1  &0  &a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a& 1 &1 \\2  &-2  &2 \\1  &0  &a \end{pmatrix} = \\\begin{pmatrix} a^2+4 & a-2 & 2a+2 \\ 2a-2  &  7 & 2a-2 \\ 2a & 1 & a^2 + 2 \end{pmatrix} $$
Grüße

Comments

Groggy, bitte hilf mir: 

https://www.mathelounge.de/503239/dgl-system-losen-stimmt-die-losung

Wieso kommt bei Wolframalpha was anderes raus? Meine Lösung passt auch, ist aber nicht gleich der von Wolframalpha. Was mache ich falsch?

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Würd ich gern, muss jetzt zum Weihnachtsessen. :-)

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Dann Bon Appetit :-)

Answer 2

A ist für a ∈ ℝ\{-2, 1} invertierbar.

Für a ∈ {(-1+√11)/2, (-1-√11)/2} ist det(A) = -1.

a = 0 ⇒ det(A · (A^-1 + A)) = 52.

Comments

Danke für die Lösungen.

Mich würde interessieren, wie ich ohne Hilfsmittel auf die Lösungen kommen.

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a) Bestimme das Inverse von A. Es entsteht eine Matrix, in der einige Einträge Brüche sind, bei denen im Nenner ein Polynom steht. Dieses Polynom darf nicht 0 sein. Es ist 0 bei a=-2 und bei a = 1.

b) Bestimme det(A) mit einem Verfahren deiner Wahl (Regel von Sarrus zum Beispiel). Löse die Gleichung det(A) = -1.