Berechnen Sie die inverse Matrix der reellen Matrix

Question

Aufgabe 3
Berechnen Sie die Determinante der Matrix aus der Aufgabe 4(a) mit Hilfe des
Laplace’schen Entwicklungssatzes:
(a) Entwicklung nach der zweiten Spalte.
(b) Entwicklung nach der dritten Zeile.

Aufgabe 4
(a) Berechnen Sie die inverse Matrix der reellen Matrix

(1 2 −4)
(3 −2 0)
(−1 0 5)

(b) Berechnen Sie die inverse Matrix der reellen Matrix

(1 0 0 0)
(2 1 0 0)
(3 2 1 0)
(4 3 2 1)

Answer 1

Berechnen Sie die Determinante der Matrix aus der Aufgabe 4(a) mit Hilfe des
Laplace’schen Entwicklungssatzes:
(a) Entwicklung nach der zweiten Spalte.

           (1 2 −4)
det(    (3 −2 0)
          (−1 0 5)

= -2 * det ( 3    0         -2 * det ( 1 -4 
                  -1  5)                      -1   5)

= -2 * (15 - 0)     - 2 * (  5  - 4 )  =    - 30 -2  = -32

Answer 2

wie man hier die Determinante berechnest, kannst du hier im Link bei einem anderen Beispiel nachvollziehen.

https://mathelounge.de/550811/laplacescher-entwicklungssatz-eigenraume-der-matrix

Zu Aufgabe 4.

$$ \begin{aligned} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&2&-4&\rm  1&0&0 \\3&-2&0&\rm  0&1&0 \\-1&0&5&\rm  0&0&1 \end{array}\right) \end{aligned} $$ Der Ansatz ist hier eine erweiterte Koeffizientenmatrix aufzustellen. Die rechte Seite besteht aus der Einheitsmatrix. Durch Zeilenumformungen musst du nun die linke Seite auf ,,Einheitsform'' bringen, also, dass du anfangs wie auf der rechten Seite, auf der linken Seite eine Hauptdiagonale aus Einsen erhältst.Die rechte Seite ist dann deine inverse Matrix.

Als Probe kannst du dann deine Ausgangsmatrix mit der inversen multiplizieren. Wenn dabei die Einheitsmatrix als Ergebnis rauskommt, hast du alles richtig gemacht.