zu A lege dir ein Raster in Form von plus und minus über die Matrix. Das sind dann die Vorzeichen, des jeweiligen Eintrags. Also so:
$$ A=\begin{pmatrix}-4^+&-1^-&a^+&-8^-\\-1^+&0^-&0^+&-1^-\\1^+&b^-&1^+&5^-\\12^+&4^-&-6^+&-8^- \end{pmatrix} $$
Jetzt schaust du, welche Zeile bzw. Spalte am meisten Nullen hat. Hier wäre das die zweite Zeile, nach der du nun entwickelst. Dann entstehen dadurch vier neue 3x3 Matrizen, dessen Determinanten wieder einzeln berechnet werden. Das ganze sieht dann so aus:
$$ \det(A)=\det\begin{pmatrix}-4^+&-1^-&a^+&-8^-\\-1^+&0^-&0^+&-1^-\\1^+&b^-&1^+&5^-\\12^+&4^-&-6^+&-8^- \end{pmatrix}=-1\cdot\det\begin{pmatrix}-1^+&a^-&-8^+\\b^-&1^+&5^-\\4^+&-6^-&-8^+ \end{pmatrix}+-0\cdot\det\begin{pmatrix}-4^+&a^-&-8^+\\1^-&1^+&5^-\\12^+&-6^-+&-8^+ \end{pmatrix}+0\cdot\det\begin{pmatrix}-4^+&-1^-&-8^+\\1^-&b^+&5^-\\12^+&4^-&-8^+ \end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}-4^+&-1^-&a^+\\1^-&b^+&1^-\\12^+&4^-&-6^+ \end{pmatrix} $$
Die Entwicklungszeile ist verschwunden und die Zahl aus der Entwicklungszeile ist der Faktor der jeweiligen Unterdeterminaten.
Dabei beachtest du jetzt nur die Entwicklungszeile auf die Vorzeichen von Plus und Minus. So wurde aus der-1 eine +1 als Vorfaktor der 4. Determinante. Und weil so viele Nullen dort stehen, verschwinden auch gleich zwei dieser Determinaten, nämlich dort wo 0 als Faktor dransteht, weshalb man sich auch nur die Faktoren weiter anschauen muss, wo keine Nullen stehen. Dann hat man also
$$ \det(A)=-1\cdot\det\begin{pmatrix}-1^+&a^-&-8^+\\b^-&1^+&5^-\\4^+&-6^-&-8^+ \end{pmatrix}+1\cdot\det\begin{pmatrix}-4^+&-1^-&a^+\\1^-&b^+&1^-\\12^+&4^-&-6^+ \end{pmatrix} $$
Jetzt geht das ganze wieder von vorne los, nur eben mit zwei Determinanten. Am Besten du entwickelst jetzt nach der einfachsten Zeile. Bei beiden wären das die zweiten Zeilen:
$$ \det(A)=-1\cdot\det\begin{pmatrix}-1^+&a^-&-8^+\\b^-&1^+&5^-\\4^+&-6^-&-8^+ \end{pmatrix}+1\cdot\det\begin{pmatrix}-4^+&-1^-&a^+\\1^-&b^+&1^-\\12^+&4^-&-6^+ \end{pmatrix}\\=-1\cdot\Bigg(-b\cdot \det\begin{pmatrix}a^+&-8^-\\-6^+&-8^- \end{pmatrix}+1\cdot \det\begin{pmatrix}-1^+&-8^-\\4^+&-8^- \end{pmatrix}-5\cdot \det\begin{pmatrix}-1^+&a^-\\4^+&-6^-\end{pmatrix} \Bigg)\\+1\cdot \Bigg(-1\cdot \det\begin{pmatrix}-1^+&a^-\\4^+&-6^- \end{pmatrix}+ b\cdot \det\begin{pmatrix}-4^+&a^-\\12^+&-6^- \end{pmatrix} -1\cdot \det\begin{pmatrix}-4^+&-1^-\\12^+&4^- \end{pmatrix} \Bigg) $$
$$= -1(-b(-8a-48)+1(8+32)-5(6-4a))+1(-1(6-4a)+b(24-12a)-1(16-12))\\=b(-8a-48)-1(8+32)+5(6-4a)-1(6-4a)+b(24-12a)-1(16-12)\\=-8ab-48b-40+30-20a-6+4a+24b-12ab-4\\= -20ab-24b-12-16a$$
