Aufgabe:
Die Determinante einer \( n \times n \) Matrix kann rekursiv mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz berechnet werden:
Die Determinante der \( n \times n \) Matrix wird durch Determinanten von \( (n-1) \times(n-1) \) Matrizen ausgedrückt, diese wiederum durch Determinanten von \( (n-2) \times(n-2) \) Matrizen usw. bis schließlich nur noch Determinanten von \( 2 \times 2 \) Matrizen zu berechnen sind.
Hinweis: Die Determinante von bestimmten Matrix-Typen (z.B. von Dreiecksmatrizen) können besonders einfach ausgerechnet werden.
\( M_{1}=\left[\begin{array}{cccc} -3 & -5 & 4 & -2 \\ 0 & 2 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right], \quad M_{2}=\left[\begin{array}{cccc} 2 & -5 & -2 & 5 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 3 & 1 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right] \)
\( M_{3}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -7 & 4 \\ 7 & 0 & -5 \\ -4 & 5 & 0 \end{array}\right] \)
a) Berechnen Sie \( \operatorname{det}\left(M_{1}\right) \).
b) Berechnen Sie \( \operatorname{det}\left(M_{2}\right) \).
c) Berechnen Sie \( \operatorname{det}\left(M_{3}\right) \).
Sind diese Ergebnisse richtig?
a) 18
b) -108
c) 0
