Bestimmen Sie alle reellen 2x2 Matrizen, die ihr eigenes Inverse sind.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle reellen 2x2 Matrizen, die ihr eigenes Inverse sind.

Hat da jemand eine Idee, wie ich das zeige?

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Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen Sie alle reellen 2 × 2-Matrizen, die ihr eigenes Inverse sind.

Stichworte: matrix,inverse-matrix,determinante,reelle

Bestimmen Sie alle reellen 2 × 2-Matrizen, die ihr eigenes Inverse sind.

Answer 1

Ja. Löse \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)* \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)= \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Answer 2

Meinst DU

\(\small A \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}a11&a12\\a21&a22\\\end{array}\right)\)

\(A \; A = \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\\\end{array}\right)\)

dann rechne das aus...

Comments

Wie rechnet man das aus?

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matrizen multipliziert man zeile mal spalte, das gibt dann 4 gleichungen für 4 a_ij . lösen des gls und für a_ij einsetzen …

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Wie rechnet man das aus?

Wenn eine Matrix \(A\) ihre eigene Inverse ist, muss \(A\cdot A = \underline 1\) sein. \(\underline 1\) soll die Einheitsmatrix sein. Mit $$A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$folgt daraus$$A\cdot A = \begin{pmatrix} a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & d^2+bc \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \implies a^2+bc = d^2 + bc = 1 \\ \phantom{\implies} b(a+d) = c(a+d) = 0$$In jedem Fall ist daher \(a^2=d^2\). Im weiteren unterscheide zwei Fälle:

1, Fall \(a+d = 0 \implies d=-a, \quad c = \frac{1-a^2}{b}\)

2. Fall \(a+d \ne 0 \implies b=c=0 \land a^2=d^2=1\)

Im ersten Fall kannst Du die Werte für \(a\) und \(b\) frei wählen, mit \(b \ne 0\).

Answer 3

Antwortversuch:

Titel: Bestimmen Sie alle reellen 2 x 2 - Matrizen, die ihr eigenes Inverse sind.

Stichworte: matrix,inverse-matrix,inverse,lineare-algebra,matrizen

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle reellen 2 x 2 - Matrizen, die ihr eigenes Inverse sind.

Ansatz:

( 1  0 )      (-1  0)     (0  1)     (0  -1)

( 0  1 )      (0  -1)     (1  0)     (-1  0)

Diese 4 Matrizen habe ich gefunden. Gibt es noch weitere?

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Gibt es noch weitere?

$$\text{z.B.:}\quad \begin{pmatrix}0,2& 3\\ 0,32& -0,2\end{pmatrix}$$