Matrix mit Parameter keine Inverse

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Matrix A in Abhängigkeit von Parameter p.

A=

2	-1	1
5	p-4	1
2	-2	5

Für welche p besitzt A keine Inverse A^-1
Problem/Ansatz:

Meine Idee war es über die Invertierbarkeitsregeln zu gehen. Eine Matrix ist ja nur invertierbar wenn die Determinante ungleich 0 ist. Allerdings habe ich die determinante nicht richtig verstanden und weiß auch gar nicht ob das der richtige Ansatz ist.

Bitte um Hilfe, danke:)

Answer 1

Aloha :)

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist. Bei den Nullstellen der Determinante besitzt die Matrix also keine Inverse:

$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 1\\5 & p-4 & 1 \\ 2 & -2 & 5\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 1\\5 & p-4 & 1 \\ 0 & -1 & 4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 1\\0 & p-1,5 & -1,5 \\ 0 & -1 & 4\end{array}\right|$$$$\phantom{0}=2\left(\,(p-1,5)\cdot4-1,5\right)=8p-15\implies$$$$p=\frac{15}{8}$$

Comments

Cool danke:)

Aber wie komme ich auf 8p-15?

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Ich habe den Rechenweg noch ergänzt.

Ich habe von der Zeile 3 die Zeile 1 subtrahiert. Dann habe ich das 2,5-fache der Zeile 1 von der Zeile 2 subtrahiert. Danach habe ich die Determinante nach dem Element links oben entwickelt...