Inverse Matrix angeben ohne Determinante

Question

a) Gegeben sei die Matrix A:

a	2
0	4

mit a ∈ℝ

Unter welchen Bedingungen an a ist A invertierbar? Verwenden Sie nicht die Theorie der Determinanten.

Wenn ich mit dem homogenen LGS ansetze, könnte ich ja die lineare Unabhängigkeit der Spaltenvektoren beweisen, oder? Jedenfalls kommt da für a = 0 raus. Die Matrix hat ja nur eine Inverse, wenn deren Spalten linear unabhängig sind, oder verstehe ich was falsch?

b) Geben Sie die Inverse der folgenden Matrix an, sofern diese existiert:

D =

2-x	0	3
1	5-x	2
3	1	3-x

Um die Inverse zu berechnen, bräuchte ich ein LGS mit mit der Einheitsmatrix als rechter Seite.
Die Matrix selbst müsste ich ja zur Einheitsmatrix umformen, folglich würden sich alle x eliminieren. Das heißt doch, dass die Matrix dann unabhängig von x dieselbe Inverse hätte, oder nicht? Wenn ja, wäre das nicht ein Widerspruch?

Answer 1

[a, 2, 1, 0]
[0, 4, 0, 1]

2*I - II

[2·a, 0, 2, -1]
[0, 4, 0, 1]

Normieren

[1, 0, 1/a, - 0.5/a]
[0, 1, 0, 0.25]

Eine Inverse gibt es für a <> 0. Diese ist jetzt auch gleich schon ausgerechnet obwohl man das ja nicht machen brauchte

Die Matrix selbst müsste ich ja zur Einheitsmatrix umformen, folglich würden sich alle x eliminieren.

Wenn du eine Gleichung mit x multiplizierst oder durch x teilst erscheint das x auch automatisch in der Inversen. Glaub also nicht das sich das einfach so weghebt. Aber da du ja eh die Inverse ausrechnen sollst solltest du das selber einfach mal probieren.

Ich habe folgendes Als Inverse heraus:

[2 - x, 0, 3; 1, 5 - x, 2; 3, 1, 3 - x]^{-1} 

= 1/(x^3 - 10·x^2 + 20·x + 16)·[- x^2 + 8·x - 13, -3, 15 - 3·x; -x - 3, - x^2 + 5·x + 3, 1 - 2·x; 14 - 3·x, 2 - x, - x^2 + 7·x - 10]

Comments

a<>0 heißt dann anders formuliert a ≠ 0 ?

Aufgabe b)
Gibts zur Berechnung der Inversen von C irgend einen Trick, mit dem man sich das Berechnen ein wenig erleichtern kann? Weil das mit den ganzen x zu schreiben wird auf Dauer halt ziemlich hässlich...

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[a, b, c; d, e, f; g, h, i]^-1

= 1/(aei - afh - bdi + bfg + cdh - ceg) * [ei - fh, ch - bi, bf - ce; fg - di, ai - cg, cd - af; dh - eg, bg - ah, ae - bd]

Schau dir dann mal genau die Struktur an die dort steht. Als Faktor am Anfang steht der Kehrwert der Determinante und in der Matrix stehen eigentlich die Unterdeterminanten.

Schau dazu auch auf

https://de.wikipedia.org/wiki/Inverse_Matrix