Inverse Matrix mittels anderer Matrix finden

Question

Sei m,n ∈ ℕ, A eine invertierbare (n x n - Matrix) mit Inverser A^-1. Berechnen Sie A^m x A^-m , wobei

A^-m := (A^-1)^m ist und leiten Sie damit die inverse Matrix von A^m her.

Normalerweise würde ich die Inverse ja so berechnen:

(A^m | E_n ) → (Gauß) (E_n | A^-1 )

E_n ist ja dasselbe wie A^m x A^-m _. Also könnte ich doch folgendes machen:

(A^m | A^m x A^-m ) → (Gauß) (A^m x A^-m | (A^m)^-1)  
Wäre das die Lösung?

Comments

Bin mir nicht so ganz sicher,  aber du hast ja ,  soweit ich es verstanden habe da stehen :

A *A *A *..... A * A^{-1}*A^{-1}....*A^{-1} 

Du kannst nicht direkt sagen,   dass dies gleich der einheitsmatrix ist.  Das ist ja genau das,  was du im Endeffekt zeigen sollst. 

Wir wissen A* A^{-1} = E.  

Was wir machen können bei  dem oberem Matrizenprodukt  : klammern um jeweils zwei Matrizen setzen.  

Also setze  mal klammern um die beiden Matrizen in der Mitte :

A *A *A *..... (A * A^{-1} )    *A^{-1}....*A^{-1} 

Was steht nun in der Klammer?  Was können wir dann wieder anwenden?

Was ist dann also die inverse von A^m? 

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Stimmt! Ja klar, wieso bin ich nicht gleich draufgekommen? 
A * A^-1 ergibt ja immer die Einheitsmatrix, da wir aber gleich viele Paare von A * A^-1 haben,
haben wir also vereinfacht darstehen: 

A^m x A^-m = (E_n) ^m = E_n

Das heißt doch, egal wie oft wir die Einheitsmatrix mit sich selbst potenzieren, es kommt genau sie ja wieder raus, oder?

Nehmen wir als Beispiel m = 3
Dann haben wir doch dastehen:

A x A x A x A^-1 x A^-1 x A^-1 = 

= A x A x (A x A^-1) x A^-1 x A^-1 =  

= A x A x E_n x A^-1 x A^-1 = 

= A x A x A^-1 x A^-1 =

= A x (A x A^-1) x A^-1 =

= A x E_n x A^-1 =

= A x A^-1 =

= E_n

Verstehe ich das richtig?

Ist dann die Inverse von A^m

 (A^-1)^m ?

Answer 1

wenn du es ganz ordentlich machen willst, dann beweise

(A^m)^-1 = (A^-1)^m  mit vollst Induktion.  etwa so:

für m=1  klar

gilt es für m, dann

(A^m+1)^-1= ( A^m * A ) ^-1 und das ist gleich   A^-1*A^-m weil

(A^m * A)*(  A^-1*A^-m) = E wie die Umformung zeigt:

(A^m * A)*(  A^-1*A^-m) =   Ass.gesetzt

(A^m * (A*  A^-1)*A^-m) = (A^m * E*A^-m)= A^m *A^-m = E nach Ind.vor.

und wenn also nun (A^m+1)^-1=   A^-1*A^-m 

dann ist dies nach der Def. von A^-m auch gleich A ^-(m+1) .  q.e.d.