Berechnen Sie die Determinante und die inverse Matrix der Koeffizientenmatrix. LGS auf zwei verschiedene Arten lösen.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Determinante und die inverse Matrix der Koeffizientenmatrix. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem auf zwei verschiedene Arten.

\( \begin{aligned} x_{1}+2 x_{2} &=1 \\ 3 x_{1}+5 x_{2} &=-1 \end{aligned} \)

Answer 1

Hi,
das Gleichungssystem kann man auch so schreiben
$$ A\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix} $$ mit $$ A = \begin{pmatrix}  1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}  $$
Die Lösung lautet
$$ \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix} $$
\( A^{-1} \) kann über die adjungte Matrix zu \( A \) berechnet werden und die Determinate von \( A \) nach folgender Formel
$$ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot adj(A) $$ siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Adjunkte
Daraus ergibt sich
$$ A^{-1} = (-1) \begin{pmatrix}  5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}  $$
Die Determinate einer 2 x 2 Matrix berechnet sich allgemein nach der Formel \( det(A) = ad-bc \) wenn \( A = \begin{pmatrix}  a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) gilt.