Blockmatrix: det(A) = det(A1) * det(A2)

Question

Ich hänge hier bei der Aufgabe fest.

-Es seien k,l € N, n = k+l

-A1 ist eine k x k-Matrix, A2 eine l x l-Matrix, B eine l x k-Matrix und A eine n x n-Matrix.

Die Matrix A sieht also so aus:

Ich habe es mit dem Multiplikationssatz probiert, komme aber nicht weiter. Als Tipp ist es gegeben, dies mit vollständiger Induktion nach k zu machen, aber ich weiß nicht wie ich es machen soll. Ich würde mich sehr über einen Tipp freuen :) 

Comments

Und? Konntest Du den Induktionsanfang schon formulieren?

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Kleines Tool zur Eingabe von Matrizen: https://www.cyber-sicherheit.online/2018/02/14/mathjax-matrizen-generator/ Einfach eingeben, auf "Rendern" klicken, zur ML zurückkommen und den Code mit STRG+V einfügen ;-)

$$\left(\begin{matrix}A_1&0\\B&A_2\end{matrix}\right)$$

Answer 1

Ind. anfang:   Für k=1 :    A1 ist dann  nur eine Zahl und Entwicklung der Matrix A

nach der 1. Zeile liefert das Ergebnis.

Beim Ind. schritt im Groben so:    A nach der ersten Zeile entwickeln ergibt

a₁₁* det(..)  - a₁₂*det(…) + …………

und in den Klammern stehen Matrizen, auf die die Induktionsvor. anzuwenden ist .

Das gibt alles Produkte, die den Faktor   det(A₂) enthalten und wenn du

den ausklammerst, hat du in der Klammer  die

Entwicklung von A₁ nach der 1. Zeile, also det(A₁).