Zu zeigen: det AN = det AN-1 + det AN-2 für N ≥ 3

Question

Hallo, ich verstehe die folgende Aufgabe einfach nicht. Ich vermute mal, dass das ohne Induktion nicht lösbar ist.

Gegeben sei die Matrix A_N = (a_kj)_1≤k,l≤N ∈ ℂ^NxN mit

\( a_{k l}=\left\{\begin{array}{ll}1, & \text { für } k=l, \\ \mathrm{i}, & k=l+1 \text { und } k=l-1, \\ 0, & \text { sonst, }\end{array} \quad\right. \) mit \( \mathrm{i}^{2}=-1 . \)

Zeigen Sie: det A₁ = 1, det A₂ = 2

und             det A_N = det A_N-1 + det A_N-2 für N ≥ 3.

Danke im voraus und schonmal ein guten Rutsch ins neue Jahr ☺.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Eine Matrix gegeben. Determinante 1 usw zeigen

Stichworte: matrix,determinante,index

Text erkannt:

Gegeben sei die Matrix \( A_{N}=\left(a_{k l}\right)_{1 \leq k, l \leq N} \in \mathbb{C}^{N \times N} \) mit
\( a_{k l}=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \text { für } k=l \\ \mathrm{i}, & k=l+1 \text { und } k=l-1, \\ 0, & \text { sonst, } \end{array} \quad \text { mit } \mathrm{i}^{2}=-1 .\right. \)
Zeigen Sie:
\( \operatorname{det} A_{1}=1, \quad \operatorname{det} A_{2}=2 \)
und
\( \operatorname{det} A_{N}=\operatorname{det} A_{N-1}+\operatorname{det} A_{N-2} \quad \text { für } N \geq 3 . \)

Aufgabe:

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Hast du dir das mal für k,l=4 oder 5 aufgeschrieben? oder Induktion überlegt?

lul

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Eigentlich ich habe gar keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen kann :(

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Schau mal hier: https://www.mathelounge.de/901535/zu-zeigen-det-an-det-an-1-det-an-2-fur-n-3?show=901614#a901614.

Answer 1

Die Matrix sieht etwa so aus:$${\large{A_N}}=\left(\begin{array}{cccccc}1&\mathrm i\\\mathrm i&1&\mathrm i&&{\Huge{0}}\\\\&\ddots&\ddots&\ddots\\\\&&\mathrm i&1&\mathrm i\\{\Huge{0}}&&&\mathrm i&1\end{array}\right)\in\mathbb C^{N\times N}.$$Es ist \(\det(A_1)=1\)  und \(\det(A_2)=1^2-\mathrm i^2=2\). Entwicklung nach der ersten Zeile liefert für \(N>2\)$$\begin{aligned}\det(A_N)&=1\cdot\det(A_{N-1})-\mathrm i\cdot\det\left(\begin{array}{c|c}\mathrm i&\mathrm i\ \ 0\ \cdots\ \ 0\\\hline0\\\vdots&\Large{{A_{N-2}}}\\0\end{array}\right)\\&=\det(A_{N-1})-\mathrm i\cdot\mathrm i\cdot\det(A_{N-2})=\det(A_{N-1})+\det(A_{N-2}).\end{aligned}$$Siehe dazu auch unter Tridiagonal-Toeplitz-Matrix.

Comments

Hallo,

kannst du vielleicht erklären wie du in der letzten Zeile vorgegangen bist? du hast ja i aus der Matrix rausgeholt oder?. Wie kommt man dann auf det(A index N-2)? was passiert mit der ersten Zeile und der ersten Spalte also wieso verschwinden sie in dem Schritt wo du ein i raushholst?

Danke im Voruas.

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Im letzten Schritt wurde die Determinante nach der ersten Spalte entwickelt. Diese Spalte enthält nur ein von Null verschiedenes Element. Übrig bleibt deshalb nur \(\mathrm i\cdot\det(A_{N-2})\).

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Ohhh klar dankeeee habe vorhin voll falsch interpretiert jetzt ist es mir klar geworden danke dir und ein frohes neues Jahr:)

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Das wünsche ich dir auch!