Beweis mit Induktion, Matrix. Behauptung Det(An) = 2^{n+1} - 1

Question

 Meine Matrix sieht folgendermaßen aus:

Ich soll folgendes per Induktion beweisen:

det(A_n) = 2ⁿ⁺¹-1

Kann ich das so in der Form lassen und beweisen oder muss ich die Entwicklungsformel hinzunehmen ?

Comments

Kann ich das so in der Form lassen und beweisen oder muss ich die Entwicklungsformel hinzunehmen ?

Das kannst du in der Form lassen. Du musst aber A_n+1 auch noch hinschreiben und ausserdem  dürfte dann noch die Entwicklungsformel zum Zug kommen.

Verankerung: n=1

Det ( (3) ) = 3 = 2^{2} -1 stimmt.

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Also habe den Induktionsanfang ohne die Formel gemacht. Einfach dann  für n=1: det(A₁)=2¹⁺¹-1 = 3 , was ja auch stimmt, siehe Voraussetzung.

Aber ich hänge beim Induktionsschritt, weil es da irgendwie nicht weitergeht. Also dann beim Induktionsschritt muss ich dann doch die Formel hinzunehmen ?

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Ich denke schon. Wenn du nach der letzten Zeile entwickelst ist es ja das gegebene mal 3 mit 1*irgendwas. Dieses irgendwas müsste man dann noch genauer hinkriegen.

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Oh, je.

Wenn ich ehrlich bin finde ich diese Entwicklungsformel schrecklich. Aber ich probiere mal. Danke bis hier hin

Answer 1

Wenn du das mit vollst Induktion machst, musst du es erst mal für 1 und 2
zeigen, denn beim Induktionsschritt muss man (s.u.)
zwei Schritte zurück.

Gilt also die Formel für An und für An-1.
Dann ist
det (A_n+1) = 3 * det (A_n)  - 2 * det (B_n)
 [Das ist die ganze Entwicklung nach der ersten Zeile, der Rest ist immer 0*irgendwas, also 0]
Das B_n sieht so aus:

1    2   0   0   0   0  0   0 .............
0   3    2  0   0    0   0   0 ..........
0   1   3   2   0   0    0  0  .........
0   0   1   3   0   0   0   0  .........
Also kurz: Wenn man 1.Zeile und 1. Spalte wegstreicht ist es A_n-1. 
Wenn man det (B_n) nach der 1. Spalte entwickelt, gibt es

det (B_n)=  1 *  det(A_n-1)    denn sonst sind ja in der 1. Spalte nur Nullen.

Wenn nun die Formel auch für n-1 gilt, hast du  det (B_n) =  2^n -1

Das jetzt in die Überlegung von oben einsetzen gibt

det (A_n+1) = 3 * det (A_n)  - 2 * det (B_n) =  3 * (2ⁿ⁺¹ - 1 )  - 2*(2^n - 1)

= 3*2ⁿ⁺¹ - 3 -2*2ⁿ + 2 = 3*2ⁿ⁺¹ - 2*2ⁿ⁺¹ -1  = 2*2^{n+1} - 1  = 2ⁿ⁺² - 1

Bingo!

Comments

det (A_n+1) = 3 * det (A_n)  - 2 * det (B_n) =  3 * (2ⁿ⁺¹ - 1 )  - 2*(2ⁿ - 1)

= 3*2ⁿ⁺¹ - 3 -2*2ⁿ + 2 = 3*2ⁿ⁺¹ - 2*2ⁿ⁺¹ -1  = 2*2ⁿ⁺¹ - 1  = 2ⁿ⁺² - 1

Also das grün markierte verstehe ich, aber ab dem roten versteh ich das leider nicht ganz. Ich glaube auch du hast dich vertan. 

3*2ⁿ⁺¹- 2*2ⁿ⁺¹ -1

das n+1 im Exponenten ergibt sich doch aus 2*2^n. Warum dann noch die zusätzlich die 2 ?

Und: wo ist die 3  hin ?

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3*2ⁿ⁺¹ - 3 -2*2ⁿ + 2 = 3*2^{n+1} - 3 - 2^{n+1} + 2       | -3 + 2 = -1

= 2*2^{n+1} - 1

= 2^{n+2} - 1

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Ich meinte eigentlich die 3 von 3*2ⁿ⁺¹

Edit: AAhh

3*2ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺¹ = 2*2ⁿ⁺¹

Alles klar!

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3- 1 = 2

3a -1a = 2a.

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Habe grad auch gesehen, stand etwas auf'm Schlauch.

Danke euch beiden !