det(A)=(x+(n-1))*(x-1)^{n-1} durch vollständige Induktion zeigen

Question

Wie kann ich durch vollständige Induktion zeigen, dass

det(A)=(x+(n-1))*(x-1)^n-1,

wenn A eine nxn Matrix ist und auf der Diagonalen nur x steht und sonst lauter 1 sen?

Also den Induktionsanfang habe ich schon gezeigt für n>1. Aber leider weiß ich den Induktionsschritt nicht. Kann mir da jemand behilflich sein?

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Vom Duplikat:

Titel: Sei z ∈ R und n ∈ N . Bestimmen Sie die Determinante der ( n × n ) -Matrix

Stichworte: matrix,determinante

Wie funktioniert die Aufgabe? Ich kann Determinanten mit Hilfe der Regel von Sarrus, des Entwicklungssatzes von Laplace und dem Gauß Algorithmus rechnen, aber ich weiß bei dieser Aufgabe gar nicht was ich machen soll, bzw. wie ich überhaupt anfangen soll.

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Die Aufgabe gibt's hier bereits. Finde sie unter den Determinanten-Fragen der letzten paar Tage.

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Ich habe es gefunden. Dankeschön! Aber ich stehe immer noch aufm Schlauch. Rekursionformel sagt mir nichts und ich weiß nicht wie Sie auf die Formel gekommen sind.

Answer 1

probier mal für n=1 , n=2 und n=3, die kann man schnell per Hand ausrechnen.

Dann bekommt man

n=1 : z=(z-1)^0 *(z+0)

n=2 : (z-1)(z+1)=(z-1)^1 (z+1)

n=3: (z-1)^2 *(z+2)

Stelle nun eine Vermutung auf und beweise sie.

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Vielen Dank für die HIlfe! Also ich kam auf die allgemeine Formel (z-1)^n-1 (z+(n-1)). Aber ich weiß leider nicht wie ich nun beweisen kann das es für alle gilt. Ich bin ziemlich schlecht in sowas.

Answer 2

Wenn man die Matrix \(A_n(x)\) nennt und ihre Determinanate \(d_n(x)\), findet man $$d_n(x)=x^{2-n}(x-1)^{n-1}d_{n-1}(x+1)$$ als Rekursionsformel.

Beispielhaft für \(n=3\) vorgerechnet:

$$\begin{aligned}\begin{vmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}&=x^{-2}\begin{vmatrix}x&1&1\\x&x^2&x\\x&x&x^2\end{vmatrix}=x^{-2}\begin{vmatrix}x&1&1\\0&x^2-1&x-1\\0&x-1&x^2-1\end{vmatrix}\\[10pt]&=x^{-1}(x-1)^2\begin{vmatrix}x+1&1\\1&x+1\end{vmatrix}.\end{aligned}$$

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Ich habe diese Aufgabe auch, und habe das Beispiel auch durchgerechnet. Doch mit der Rekursiosformel kann ich die oben dargestellte Formel doch nicht durch vollständige Induktion zeigen? Weil bei uns steht das in der Aufgabe, dass man das mit vollständiger Induktion zeigen soll.

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Das siehst Du falsch. Die Gleichung \(d_n(x)=(x+n-1)(x-1)^{n-1}\) zeigt man gerade durch vollstaendige Induktion, wobei man im Induktionsschritt eben die gewonnene Rekursionsgleichung verwendet. Oder meinst Du, ich hab die nur zum Spass hingeschrieben?