Wenn du das mit vollst Induktion machst, musst du es erst mal für 1 und 2
zeigen, denn beim Induktionsschritt muss man (s.u.)
zwei Schritte zurück.
Gilt also die Formel für An und für An-1.
Dann ist
det (A
n+1) = 3 * det (A
n) - 2 * det (B
n)
[Das ist die ganze Entwicklung nach der ersten Zeile, der Rest ist immer 0*irgendwas, also 0]
Das B
n sieht so aus:
1 2 0 0 0 0 0 0 .............
0 3 2 0 0 0 0 0 ..........
0 1 3 2 0 0 0 0 .........
0 0 1 3 0 0 0 0 .........
Also kurz: Wenn man 1.Zeile und 1. Spalte wegstreicht ist es A
n-1.
Wenn man det (B
n) nach der 1. Spalte entwickelt, gibt es
det (Bn)= 1 * det(An-1) denn sonst sind ja in der 1. Spalte nur Nullen.
Wenn nun die Formel auch für n-1 gilt, hast du det (Bn) = 2^n -1
Das jetzt in die Überlegung von oben einsetzen gibt
det (An+1) = 3 * det (An) - 2 * det (Bn) = 3 * (2n+1 - 1 ) - 2*(2^n - 1)
= 3*2n+1 - 3 -2*2n + 2 = 3*2n+1 - 2*2n+1 -1 = 2*2^{n+1} - 1 = 2n+2 - 1
Bingo!