Für welche Werte von a ist A invertierbar

Question

Aufgabe:

Mit einem reellen Parameter a sei \( A \) die Matrix

$$ \left(\begin{array}{ccc} {a} & {1} & {1} \\ {2} & {-2} & {2} \\ {1} & {0} & {a} \end{array}\right) $$

a) Für welche Werte von \( a \) ist \( A \) invertierbar?

b) Für welche Werte von \( a \) ist \( \operatorname{det}(A)=-1 ? \)

c) Es sei jetzt \( a=0 . \) Berechnen Sie die Determinante der Matrix \( A \cdot\left(A^{-1}+A\right) \)

Ansatz:

Zu a) habe ich die Determinaten berechnet und komme auf 4-2a²-4a. Kann ich daraus schon was ablesen?

Answer 1

a)

DET([a, 1, 1; 2, -2, 2; 1, 0, a]) = - 2·a^2 - 2·a + 4 = 0

a = -2 oder a = 1

Für a ungleich -2 und a ungleich 1 ist A invertierbar

b)

DET([a, 1, 1; 2, -2, 2; 1, 0, a]) = - 2·a^2 - 2·a + 4 = -1

a = - √11/2 - 1/2 oder a = √11/2 - 1/2

c)

[0, 1, 1; 2, -2, 2; 1, 0, 0] * ([0, 0, 1; 0.5, -0.25, 0.5; 0.5, 0.25, -0.5] + [0, 1, 1; 2, -2, 2; 1, 0, 0]) = [4, -2, 2; -2, 7, -2; 0, 1, 2]

DET([4, -2, 2; -2, 7, -2; 0, 1, 2]) = 52

Mir fällt gerade ein das man hier auch die Regeln zur Berechnung mit Determinanten nutzen könnte.

Comments

Ich habe für Aufgabe c) als Inverse das Ergebnis heraus. Es weicht von deinem aber stark ab. Habe ich den Zeilentausch und die umstellung auf der linken Seite richtig gemacht?

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Aufgabe b) löse ich dann alles nach a auf? Ich bekomme da etwas anderes heraus...a=√3/4

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So sehr weicht din Ergebnis doch nicht ab. Meine Inverse lautet

[0, 0, 1; 0.5,

-0.25, 0.5;

0.5, 0.25, -0.5]

Bei b) löst du nach a auf. Am besten abc-Formel oder nach Umwandlung auf Normalform mit der pq-Formel lösen.

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Ich habe es nochmal gerechnet und bekomme folgendes raus

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Hier noch die ABC Formel

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Du hast bei b)

- 2·a² - 2·a + 4 = -1

Die -1 ist zuerst auf die linke Seite zu bringen oder?

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also würde es dann nicht √-28 sondern √-20 heißen?

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Wenn dir die abc-Formel zu schwer ist dann teil zunächst durch minus 2 und wende die pq Formel an.

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Ich habs jetzt... War gestern ein bisschen viel mit lernen :)

auch mit der Inversen berechnen hat jetzt geklappt. Was ein bisschen Schlaf bewirken kann. Das Problem ist ich muss noch viel Mathe nachholen da ich nach der Realschule gearbeitet habe und jetzt ein Fernstudium mache... Es fehlen dann einfach teilweise die Grundlagen. Daraus resultieren dann meine "speziellen" Fragen.

Vielen Dank noch mal für die Hilfe.

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anstatt gleich die Lösung für die Aufgaben hinzuschreiben, würde mich auch der Lösungsweg interessieren.

Welche Formel wurde verwendet und wie wurde aufgelöst/weitergerechnet?

Diese Lösung

a)

DET([a, 1, 1; 2, -2, 2; 1, 0, a]) = - 2·a2 - 2·a + 4 = 0

a = -2 oder a = 1

Für a ungleich -2 und a ungleich 1 ist A invertierbar

b)

DET([a, 1, 1; 2, -2, 2; 1, 0, a]) = - 2·a2 - 2·a + 4 = -1

a = - √11/2 - 1/2 oder a = √11/2 - 1/2

c)

[0, 1, 1; 2, -2, 2; 1, 0, 0] * ([0, 0, 1; 0.5, -0.25, 0.5; 0.5, 0.25, -0.5] + [0, 1, 1; 2, -2, 2; 1, 0, 0]) = [4, -2, 2; -2, 7, -2; 0, 1, 2]

DET([4, -2, 2; -2, 7, -2; 0, 1, 2]) = 52

hilft mir für das Verständnis leider nicht weiter.

 

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Du hast offensichtlich Schwierigkeiten mit der Determinante? Weißt du wie man die Determinante einer 3*3 Matrix berechnet und was die Determinante über eine Matrix aussagt?

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die Lösung für  Teilaufgabe a) habe ich mir über die Suche durch verschiedene Foren erschlossen (Stichwort: pq-Formel), aber es wäre interessant gewesen, wenn neben der Lösung auch der Lösungsweg angegeben wäre.

Aber konkret geht es mir in diesem Fall um Teilaufgabe b). Hier stehe ich gerade auf dem Schlauch und komme nicht auf das richtige Ergebnis.

Danke

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Entschuldigung wenn ich Grundlagen wie die pq-Formel für Leute die Matrizenrechnung voraussetze. Also wie man 

- 2·a² - 2·a + 4 = 0

löst sollte man wissen. Es gibt nicht nur die Möglichkeit der pq-Formel. Welchen Lösungsweg da jeder nimmt bleibt ihm selbst überlassen. Ich verwende da sogar die abc-Formel, weil ich nicht erst durch -2 teilen muss.

b)

Hier ist gefragt für welche Werte von a die Determinante -1 ist. Also bestimmt man die Determinante und setzt diese gleich 1.

- 2·a² - 2·a + 4 = -1

Auch das ist wieder eine quadratische Gleichung. Auf beiden Seiten plus 1 rechnen, durch -2 teilen und zum Schluss pq-Formel anwenden.

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Ich beziehe mich mit diesem Kommentar auf die Aufgabenstellung b)

@Mathecoach

Mir ist bewusst, dass deine Antwort mittlerweile einige Jahre zurück liegt aber da die Aufgabenstellung noch heufig in diversen Studienunterlagen vorkommt möchte ich sie dennoch kommentieren. Zunächst möchte ich sagen, dass ich es unangebracht finde wie du deine Antwort eingeleitetet hast: Mathecoach: "Entschuldigung wenn ich Grundlagen wie die pq-Formel für Leute die Matrizenrechnung voraussetze."

Die Frage des Gastes war durchaus berechtigt. Es macht keinen Sinn einfach nur Ergebnisse zu präsentieren ohne die Vorgehensweise zu erläutern. Darüber hinaus ist dein Ergebnis:

Mathecoach:" a = - √11/2 - 1/2 oder a = √11/2 - 1/2 "

nicht korrekt! Um es richtig zu stellen gehe ich mal nach deiner Anleitung vor

(Mathecoach:"- 2·a2 - 2·a + 4 = -1 Auch das ist wieder eine quadratische Gleichung. Auf beiden Seiten plus 1 rechnen, durch -2 teilen und zum Schluss pq-Formel anwenden.")

- 2·a^2 - 2·a + 4 = -1     /+1

- 2·a^2 - 2·a + 5 = 0      /:-2

a^2 + a - 5/2 = 0           / möchte man die pq-Formel anwenden p=1 , q= -5/2

a₁₂ = - p/2 ± √( (p/2)^2 - q)       /die Werte für p und q eingesetzt ...

a₁₂ = - 1/2 ± √( (1/2)^2 - (-5/2) )      / ich löse das Quadrat von (1/2)^2 in der Wurzel..

a₁₂ = - 1/2 ± √( 1/4 + 5/2 )             / Nenner gleichnamig machen ..

a₁₂ = - 1/2 ± √( 1/4 + 10/4 )          / ich fasse den Wurzelausdruck zusammen..

a₁₂ = - 1/2 ± √( 11/4 )

a₁ = - 1/2 + √( 11/4 )  ;  a₂ = - 1/2 - √( 11/4 )

Vermutlich ein kleiner Tippfehler von dir.

Grüße

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Es gilt √11/2 = √(11/4).

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@ MatHaeMatician

Könntest du dein Kommentar bitte erläutern?

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Es ist rechnerisch etwas anderes ob man die Wurzel aus 11/4 nimmt oder die Wurzel aus 11 durch 2 teilt. Allerdings kommt beides mal das gleiche heraus. Probier es mal aus.

Vielleicht siehst du es so besser

$$ \sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2} $$

Wie du erkennst war meine Lösung durchaus richtig.

Als wir in der Uni für die Matheklausur gelernt haben, hatten wir neben Musterklausuren auch Musterlösungen. Dort war aber nicht der Rechenweg zu finden sondern nur das fertige Endergebnis. Das allerdings zu 99.9% immer richtig.

Ich bin der festen Überzeugung ich habe soviel in Mathe gelernt weil ich nicht fertige Musterlösungen hatte die ich einfach nur abschreiben musste sondern jede Rechnung tatsächlich nachrechnen musste und mit der notierten Lösung vergleichen könnte.

Dazu gehört auch das ich meine Lösung in die der Aufgabe überführen musste oder auch die Gegebene Lösung in meine Form, wenn mir diese besser gefiel.

Und im Zeitalter von Mathetools auf dem Handy kann sich ohnehin jeder eine quadratische Funktion mit Lösungsweg vorrechnen lassen. Das muss man denke ich nicht mehr im Forum übernehmen.

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@ Mathecoach

Vielen Dank für die rasche Antwort. Ich denke das klärt die grundlegenden Missverständnisse zu dieser Aufgabenstellung auf. Mir ist es gar nicht in den Sinn gekommen das so zu interpretieren. Zunächst weil es eine konkrete Struktur der pq-Formel gibt und zum anderen ist mir in diesem Fall eine andere Schreibweise geläufig. Und deshalb halte ich es für wichtig Ergebnisse zu erläutern. Für unser Beispiel kenne ich folgende Schreibweise:

√(11/4)  = √(11)/2

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Deine Einstellung kann ich verstehen. Nun hat aber nicht jeder die gleichen Grundvoraussetzungen. Ich musste mir dieses Wissen im Fernstudium, ohne hinreichende Vorkenntnisse neben meiner Familie (3 Kinder) abends selbst aneignen. Und ich bin oft daran verzweifelt wie so manche Rechenbeispiele vorgegeben worden. Gerade weil bestimmte Zwischenschritte nicht erklärt worden. Ich habe oft den Eindruck gehabt, dass man es sich bei der Erstellung solcher Studienunterlagen zu einfach gemacht hat.  

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Das ist das schöne an einem Forum. Hier kann man wenn einem doch nochmal eine Rechnung unklar ist nachfragen. Am besten indem man Eigeneinsatz zeigt und seine Alternativrechnung wie du es getan hast zur Verfügung stellt. Dann sehen die Leute das du dich auch damit auseinandergesetzt hast. Generell sollte jeder Fragesteller schon einen Eigenanteil liefern soweit er eben selber kommt. Leider machen das hier zu wenig. Und ich kann und will nicht jede quadratische Gleichung haarklein vorrechnen. Wie gesagt gibt es dafür auch Mathetools die das liefern. Die machen es auf Wunsch mit verschiedenen Alternativen pq-Formel, mit der abc-Formel oder auch über die quadratische Ergänzung. Je nachdem wie jemand es haben möchte.