Wie wird der Drehwinkel einer Drehmatrix berechnet?

Question

Hauptachsentransformation in ℝ²: Drehmatrix und Drehwinkel berechnen. Wie wird der Winkel berechnet?

Führen Sie eine Hauptachsentransformation für die folgenden Quadriken im ℝ2 durch. Geben Sie die verwendete Drehmatrix bzw. den Drehwinkel explizit an.

x₁² + 2\( \sqrt{3} \) * x₁*x₂ - x₂² = 2

Moin, ich bekam diese Aufgabe und bin etwas verwirrt, wie ich das rechnen soll.

Ich weiß zwar wie man Eigenvektoren, normierte Vektoren berechnet, aber ich verstehe nicht genau wie ich den Winkel α an sich berechnen soll. Ich kenne es nur so, dass der Winkel irgendwie bereits gegeben war aber nicht, wie man es genau berechnet.

Kann wer helfen?

Answer 1

Hallo,

Dass man diese Gleichung $$x^{2} + 2\sqrt{3} xy- y^{2} = 2$$in dieser Form schreiben kan, $$\begin{pmatrix} x& y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} - 2= 0 $$ ist Dir sicher bekannt.

Ich weiß zwar wie man Eigenvektoren, normierte Vektoren berechnet ...

Das ist prima, dann kommst Du zum Beispiel zu den Eigenvektoren$$e_1 = \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 1\end{pmatrix}, \quad e_2 = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3}\sqrt{3} \\  1 \end{pmatrix}$$und wenn man sich die Vektoren einfach mal so hinzeichnet, inklusive obiger Funktion, dann sieht man dies:

fällt Dir was auf? Die Eigenvektoren zeigen doch genau in die Richtung, in die die Hyperbel aus einer der Normallagen hinein gedreht wurde. Also ist (ein) Winkel \(\alpha\)$$\alpha = \arctan\left(\frac{e_y}{e_x}\right) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)  = 30° $$Gruß Werner

Comments

Wow, ok. Jetzt verstehe ich es wesentlich besser. Ich wüsste halt am Anfang auch nicht genau wozu die Vektoren dienen sollten aber so macht es auf jeden Fall Sinn. Vielen vielen Dank!

Answer 2

Weg über das implizite Differenzieren, falls die Hauptachsentransformation nicht verlangt ist:

gedrehte Hyperbel: \(x^2 + 2 \sqrt{3}  xy - y^2 = 2\)

\(h(x,y)=x^2 + 2 \sqrt{3}  xy - y^2- 2\)

\(h_x(x,y)=2x + 2 \sqrt{3}  y \)

\(h_y(x,y)= 2 \sqrt{3}  x - 2y\)

\(h'(x)=-\frac{f_x(x,y)}{f_y(x,y)}=-\frac{x + \sqrt{3}  y}{ \sqrt{3}  x - y}\)

Kreis um M\((0|0)\)

\(x^2+y^2=r^2\)

\(k(x,y)=x^2+y^2-r^2\)

\(k_x(x,y)=2x\)

\(k_y(x,y)=2y\)

\(k'(x)=- \frac{x}{y} \)

Berühreigenschaft liegt vor, wenn die Steigungen der Tangenten identisch sind:

\(\frac{x + \sqrt{3}  y}{ \sqrt{3}  x - y}= \frac{x}{y}\)

1.)

\(y= \frac{x}{\sqrt{3}} \)  geschnitten mit   \(x^2 + 2 \sqrt{3}  xy - y^2 = 2\):

\(x^2 + 2 \sqrt{3}  x \cdot \frac{x}{\sqrt{3}} - (\frac{x}{\sqrt{3}})^2 = 2\)

\(x_1=\frac{1}{2}\sqrt{3} \)       \(y_1= \frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\)

\(x_2=-\frac{1}{2}\sqrt{3} \)    \(y_2=- \frac{1}{2} \)

Kreis:   \(r^2=(\frac{1}{2}\sqrt{3})^2+\frac{1}{4}\)

Winkel:

\(\tan(α)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}\)

\(\tan^{-1}(\frac{1}{3}\sqrt{3})=30°\)

Hyperbel :

\(x^2-y^2=1\)

Comments

Führen Sie eine Hauptachsentransformation für die folgenden Quadriken im ℝ2 durch

M:

Weg über das implizite Differenzieren, falls die Hauptachsentransformation nicht verlangt ist:

Ich habe neulich ein T-Shirt gesehen. Auf der Bauchseite stand:

"Ich bin nicht schizophren!".

Auf dem Rücken stand: "Ich auch nicht!"