Mein Ansatz wäre der folgende:
um Schreibarbeit zu sparen wähle ich \( x'=kx \text{ und } y'=ky \)
Eigenwerte berechnen
\( \text{ } \qquad \det ( S - \lambda E ) = 0 \)
\( \Leftrightarrow \quad \lambda (r'^2 - \lambda^2) = 0, \text{ mit } r' = \sqrt{x'^2 + y'^2} \)
\( \Rightarrow \quad \lambda_{1,2,3} = 0, r', -r' \)
Desweiteren könnte mir jemand erklären was damit gemeint ist das ich es für jeden Punkt ausrechnen muss?
Gemeint sind die Hauptspannungen in Abhängigkeit von \( x,y,z \) ,d.h. für jeden Punkt des Stabes könnte man die entsprechende Hauptspannung ausrechnen.
Eigenvektoren berechnen
für \( \lambda = 0 \)
\( \begin{pmatrix} 0 & 0 & -y' \\ 0 & 0 & x' \\ -y' & x' & 0 \end{pmatrix}v_1 = 0 \Rightarrow v_1 = t \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 0 \end{pmatrix}, \text{ mit } t \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
für \( \lambda = r' \)
\( \begin{pmatrix} -r' & 0 & -y' \\ 0 & -r' & x' \\ -y' & x' & -r' \end{pmatrix}v_2 = 0 \Rightarrow v_2 = t \begin{pmatrix} -y' \\ x' \\ r' \end{pmatrix}, \text{ mit } t \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
für \( \lambda = -r' \)
\( \begin{pmatrix} r' & 0 & -y' \\ 0 & r' & x' \\ -y' & x' &r' \end{pmatrix}v_3 = 0 \Rightarrow v_3 = t \begin{pmatrix} y' \\ -x' \\ r' \end{pmatrix}, \text{ mit } t \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
Für Teil b) ist gefragt, wann die Spannung \( \sigma (n) \) maximal wird. Diese Gleichung können wir durch die eben berechneten Eigenwerte und -vektoren in die Normalform bringen.
\( \sigma (m) = r'm_2^2 - r'm_3^2, \text{ mit } n = \begin{pmatrix} \hat{v_1} & \hat{v_2} & \hat{v_3} \end{pmatrix} m \)
Es gilt weiterhin die Nebenbedingung \( |n| = 1 \Leftrightarrow |m| = 1 \). Außerdem ist das Maximum von \( \sigma \) für beide Funktionen identisch, da die Transformation Längen erhält. \( \sigma(m) \) ist maximal für \( m_1 = m_3 = 0 \) und \(m_2 = 1 \). Der Funktionswert ist an dieser Stelle gleich \( r' = kr \).
\( \Rightarrow \sigma_{\text{max}} = kr = 13,6 \frac{\text{N}}{\text{mm}^2} \cdot 1 \text{cm} = 136 \frac{\text{N}}{\text{mm}} \)
Die Richtung \( n \) ergibt sich dabei aus \(n = \begin{pmatrix} \hat{v_1} & \hat{v_2} & \hat{v_3} \end{pmatrix} m\).
\(n = \begin{pmatrix} \hat{v_1} & \hat{v_2} & \hat{v_3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\hat{ v_2} \)
