Hallo ,
für mein Geo-Studium muss ich leider Höhere Mathematik 1 & 2 absolvieren , nachdem ich leider durch die erste Mathe Prüfung gefallen bin , muss ich den nächsten Versuch in 3 Wochen bestehen . Und so gut wie alles sehr gut verstehen.
In unserer Vorlesung haben wir auch die Hauptachsentransformation behandelt , das habe ich soweit bis zu einem gewissen Punkt alles verstanden . Nur ab dem Punkt die Drehmatrix zu transformieren , die Form zu bestimmen sowie den Drehwinkel zu bestimmen , hab ich noch große Schwierigkeiten . Ich hoffe da kann mir jemand helfen , dass Thema wird anscheinend nicht so oft im Studium behandelt .(Zumindest in meinem Bekanntenkreis hatte das niemand in HM1 oder HM2).
Aufgabe:
-x₁+2√3x₁x₂+x₂=2 Führen sie eine
Hauptachsentransformation durch, um die Kurve zu bestimmen. Geben sie Drehmatrix S, den Drehwinkel , die transformierte Gleichung und die Art der Kurve an .
Problem/Ansatz:
Die ganzen Schritte mit den Eigenwerten überspringe ich mal bis zur Drehmatrix . Meine Drehmatrix ist
S=\( \frac{1}{2} \) \( \begin{pmatrix} 1 & -√3 \\ √3 & 1 \end{pmatrix} \)
Nun müsste ich ja auf meinen Sinus und Cosinus kommen um den Drehwinkel herauszufinden , der cosinus wäre ja cos=\( \frac{1}{2} \) und der sinus \( \frac{√3}{2} \) um jetzt den Winkel zu bestimmen , müsste ich ja den arctan ausrechnen nur in der Klausur dürfen wir keinen TR verwenden , gibt es da irgendwie einen Trick ? Oder ist die Lösung dazu offensichtlich ?
Im nächsten Schritt sollte man ja die Hauptachsentransformation durchführen , das heißt x=S*y , da es ja nur eine zweidimensionale HAT ist.
Müsste ich dann einfach nur die Drehmatrix ausrechnen oder wie mache ich das ? Den Schritt habe ich nie verstanden . Dann setzt man ja für jedes X in der ersten Matrix-Form die Drehmatrix ein und dann hat man das Ergebnis?
Müsste es dann ungefähr so aussehen :
S*y*\( \begin{pmatrix} -1 & √3 \\ √3 & 1 \end{pmatrix} \) *S*y=2 ?
Würde mich über Hilfestellung/Erklärungen freuen...
