Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. und 2. Art

Question

Aufgabe:

Der Ausschussanteil bei der Produktion von Werkstücken beträgt bislang 8%. Nach einer Veränderung des Produktionsprozesses vermutet der Betriebsleiter, dass der Ausschussanteil reduziert wurde.

Diese Vermutung soll durch einen Test mit einer Stichprobe von 200 Werkstücken auf einem Signifikanzniveau von 2% überprüft werden. Es wird die Nullhypothese „Der Ausschussanteil beträgt mindestens 8%" gewählt.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art.

b) Bestimmen Sie Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn der Ausschussanteil in Wirklichkeit nur 5% beträgt.

c) Bearbeiten Sie Teilaufgabe b) für einen Stichprobenumfang von 500 Werkstücken.

d) Untersuchen Sie, ob, es einen Stichprobenumfang gibt, bei dem die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art kleiner als 5% ist, falls der Ausschussanteil in Wirklichkeit 5% beträgt.

Problem/Ansatz:

Teil a) habe ich gerechnet und komme auf 1,83%.

Aber danach stehe ich etwas auf dem Schlauch…

Answer 1

a) hast du richtig gelöst

P(X ≤ 8 | n = 200 ; p = 0.08) = 0.0183 = 1.83%

b)

P(X ≥ 9 | n = 200 ; p = 0.05) = 0.6730 = 67.30%

Bei c) rechnest du das ganze nochmals mit n = 500 und bei d) nochmals mit z.B. n = 1000

Comments

Danke. Muß man bei d) das n raten oder kann man das ausrechnen?

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Ich habe jetzt bei c) als Fehler 2. Art 29,61% ausgerechnet.

Mit dem Fehler 2. Art komme ich noch nicht ganz klar. Ich habe gelesen, dass man nur weiß, wenn der 1. Art kleiner wird, der 2. Art größer wird und man den 2. Art in der Regel nicht berechnen kann.

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Das kann man näherungsweise mit der Normalverteilung berechnen.

Aber Achtung. Da der Fehler 2. Art nicht gleichmäßig fällt, ist das kein exakter Übergang bei dem der Fehler 2. Art kleiner 2% ist.

Je. Nach Rechner (CAS/MMS) lässt sich der Fehler 2. Art auch in einer Wertetabelle in Abhängigkeit von n ermitteln.

Das gehört aber nicht in den Schulstoff und daher sollst du nur untersuchen, ob es ein Stichprobenumfang gibt.

Das Einfachste ist also, es für ein recht großes n zu probieren.

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Ich habe jetzt bei c) als Fehler 2. Art 29,61% ausgerechnet.

Deine 29.61% sind richtig.

Mit dem Fehler 2. Art komme ich noch nicht ganz klar. Ich habe gelesen, dass man nur weiß, wenn der 1. Art kleiner wird, der 2. Art größer wird und man den 2. Art in der Regel nicht berechnen kann.

Berechnet hast du ihn richtig. Überlege dann auch ob du es verstanden hast warum das so ist.

Im folgenden ist der Alpha und Betafehler für n = 500 grafisch aufgetregen.

Und hier nochmals für n = 1000

Answer 2

b) Sei X binomialverteilt mit p=8% und n = 200.

Bestimme ein möglichst großes k, so dass P(X≤k) ≤ 2% ist. Das solltest du unter a)  schon gemacht haben.

Sei Y binomialverteilt mit p=5% und n = 200. Der Fehler zweiter Art ist P(Y>k).

Comments

Muß man beim Fehler 2. Art eine andere Zufallsvariable nehmen?

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Fehler 1. Art und Fehler 2. Art berechnet man mit unterschiedlichen Binomialverteilungen.

Sei X binomialverteilt mit p=8% und n = 200.

Sei X binomialverteilt mit p=5% und n = 200.

Jetzt habe ich zwei Zufallsvariablen. Wenn ich nun über die Zufallsvariable X rede, dann ist nicht klar, welche der beiden Zufallsvariablen gemeint ist. Deshalb bekommen unterschiedliche Zufallsvariablen unterschiedliche Namen.

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Das verstehe ich nicht. Die Zufallsvariable ist doch in beiden Fällen dieselbe, sie zählt die Anzahl der defekten Werkstücke, oder nicht?