Matrix bilden, wenn Spur, Eigenwerte gegeben

Question

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Aufgabe \( 6 \quad \) (4 Punkte)
\( \square 0 \square 1 \square 2 \square 3 \square 4 \)

Gegeben sei die symmetrische Matrix \( A \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \) mit \( \operatorname{Sp} A=-4 \), den Eigenwerten \( \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-2 \) und den Eigenräumen \( V\left(\lambda_{1}\right)=\mathrm{L}\left((1,3,0)^{\top}\right) \) und \( V\left(\lambda_{2}\right)=\mathrm{L}\left((0,0,1)^{\top}\right) \).
(a) Bestimmen Sie den dritten Eigenwert: \( \lambda_{3}=-3 \).
(b) Bestimmen Sie: \( \operatorname{det}(A)=\square \).
(c) Geben Sie eine Transformationsmatrix \( T \) und die dazugehörige Diagonalmatrix \( D \) so an, dass \( D=T^{-1} A T \).
\( T=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 3 \\ 3 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right), \quad D=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right) \)

Aufgabe:

Wie kann man unter Berücksichtigung dieser Angaben eine Matrix zusammenstellen?

LG

Answer 1

Aloha :)

zu a) Die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen (die Spur) ist glech der Summe der Eigenwerte. Daraus resultiert der dritte Eigenwert:$$\lambda_3=\operatorname{Sp}(A)-\lambda_1-\lambda_2=-4-1-(-2)=-3$$

zu b) Die Determinante einer Matrix ist gleich dem Produkt der Eigenwerte:$$\operatorname{det}(A)=\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3=1\cdot(-2)\cdot(-3)=6$$

zu c) Bei einer symmetrischen Matrix sind die Eigenvektoren paarweise orthogonal zueinander. Der fehlende Eigenvektor ist daher:$$\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-1\\0\end{pmatrix}$$In die Transformationsmatrix \(T\) kommen die drei Eigenvektoren als Spalten. Die Diagonalmatrix \(D\) enthält die zugehörigen Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen.