Berechnen Sie die Determinante und die Spur von f

Question

Aufgabe:

Auf einem 3-dimensionalen komplexen Vektorraum mit der Basis {v₁,v₂,v₃} wird ein Endomorphismus f durch

f v₁ =v₁+v₂+v₃

f v₂ =v₁-v₂+v₃

f v₃ =v₁

(a) Berechnen Sie die Determinante und die Spur von f.

(b) Berechnen Sie die Eigenwerte und die Eigenvektoren von f. Ist f diagonalisierbar?

Problem/Ansatz:

Hallo ich tue mich etwas schwer mit dieser Aufgabe. Meine Idee war erstmal folgende da ich f v₁ - f v₃ gegeben habe hab ich daraus folgendes gemacht.

\( \begin{pmatrix} v1 & v2 & v3 \\ v1 & -v2 & v3 \\ v1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} \)  

Somit erhalte ich die Determinante: v₁*(-2*v₂)*(-v₃)

Meinen Spur erhalte ich ja, in dem ich von der Diagonalen die Einträge addiere in diesem Fall wäre das v₁+(-v₂)+0= v₁-v₂+0.

Ist das bis hierhin erstmal richtig?

Beim (b) tue ich mich leider total schwer weil ich das mit dem Komplexen einfach noch nicht hinbekomme.

Beim zweiten Teil von (b) muss ich ja feststellen ob die Matrix nur auf der Diagonalen Einträge hat. Alle anderen müssen =0 sein, bzw. es muss gelten das es eine Matrix D_A = S^-1 AS gibt.

Könnte mir da vielleicht jemand helfen?

Answer 1

v_1 bis v_3 sind Vektoren. In deiner Matrix stehen also plötzlich Vektoren neben und untereinander. Das passt nicht

Tipp:

Lies die Gleichungen mal so hier:

f v1 =1*v1+1*v2+1*v3

f v2 =1*v1-1*v2+1*v3

f v3 =1*v1 +0*v_2 +0*v_3

Wie sieht also die Matrix aus?

Comments

Danke dir erstmal für deine Hilfe, du meinst dann quasi das richtig?

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} \)

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In der Regel sind die v_i Spaltenvektoren, die Einträge schreibt man untereinander.

Daher kenne ich es so, dass man die Bilder der Einheitsvektoren in der Matrix nebeinander schreibt, also

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$$

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Okay und mit dieser Matrix errechne ich nun ganz normal die Determinante und die Spur.

Was dann Determinante = 2 ergibt und die Spur ist nach wie vor dann 1+(-1)+0=0.

Was mich bis hierhin aber verwirrt ist das hat ja an sich bis hierhin noch wenig mit komplexen zutun oder seh ich das nicht?

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Weil dann kann ich ja mit der Matrix

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ \end{pmatrix} \)

Ja auch ganz einfach die Eigenvektoren und Eigenwerte Berechen

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Genau, die Spur und Determinante ist ganz einfach. Auch die Eigenwerte und -Vektoren kannst du ganz normal berechnen. Hier kommen die komplexen Zahlen ins Spiel. Die Matrix hat zwar nur reelle Einträge, aber ihr charakteristisches Polynom kann auch komplexe Nullstellen haben.

Tipp: entwickle nach der letzten Spalte

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Hab nun folgendes raus für mein Charakterischtischen Polynom -(λ+1)*(λ+1)*(λ-2).

Somit hab ich die Eigenwerte λ₁=-1 λ₂=2 λ₃=-1 bzw. aöls Eigenvektoren:

 λ₁= \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\1 & 0 & 0\\1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

λ₂= \( \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\1 & -3 & 0\\1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \)

λ₃= \( \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\1 & -3 & 0\\1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \)

Allerdings habe ich hier auch noch ncihts mit Komplexen Zahlen gemacht. Du meintest ich soll nach der letzten Spalte Entwickeln ich gehe davon aus du meinst (λ-2). Aber ich weiß nciht was du genau meinst.

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Komplexe Zahlen müssen nicht zwingend auftreten, es scheint eine angenehme Aufgabe zu sein ;). Deine Eigenwerte stimmen.

Du hast bisher noch keine Eigenvektoren bestimmen. Du hast nur die Eigenwerte λ_i in die Matrix  (f-λ_i *E_3) eingesetzt. Jetzt ist das Gleichungssystem

(f-λ_i *E_3) *v =(0,0,0)^T zu lösen.

Damit erhältst du den Eigenraum.

(Das mit der Entwicklung nach der letzten Spalte war nicht sinnvoll mir, dachte man kann das charakteristische Polynom damit leichter faktorisieren.)

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Aber nach dem Eigenraum ist doch gar nicht gefragt. Ich muss doch nun nur noch dann sagen ob f diagonalisierbar ist

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Du meinstest ich hab noch keine Eigenvektoren berechnet aber meine λ_1-3 sind doch meine Eigenvektoren für die davor geposten Eigenwerte. Oder ich Weiß nicht was du meinst. Kannst du das nochmal ausführen bitte.

Wie ich das mit der Diagonalisierbarkeit nun genau mache weiß ich auch nciht so genau weil "(f-λ_i *E_3) *v =(0,0,0)T " hilft mir gerade nicht

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Schau dir nochmal an, was Eigenvektoren sind:

https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem

Das sind Vektoren. Du hast oben λ_1 =... eine Matrix angegeben, keinen Vektor.

Du musst den zugehörigen Eigenraum berechnen, weil in b)

Berechnen Sie die Eigenwerte und die Eigenvektoren von f

Zum Eigenwert -1 ergibt sich folgendes Gleichungssytem:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$$

Aus der wzeiten Gleichung folgt direkt x=0 und dann werden die erste und dritte Gleichung zu z=-y. Damit lautet der Eigenraum zu lambda=-1.

$$E(-1)=\left\{\begin{pmatrix} 0\\y\\-y  \end{pmatrix}| y \in \mathbb{C}  \right\}$$

Hier kannst du auch die geometrische Vielfachheit ablesen und schon sagen, ob f diagonalisierbar ist.

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also ich hab nun für λ=-1= (0,-y,z) raus und für λ=2=(\( \frac{3}{2} \) x,\( \frac{1}{2} \) y,z) allerdings sehe ich da nun nicht wie du daran die diagonalisierbarkeit ablesen kannst.

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also ich hab nun für λ=-1= (0,-y,z) raus und für λ=2=(3/2 x,1/2 y,z)

Das kann nicht stimmen, denn setzt man bei  λ=-1= (0,-y,z) y=1 und z=-1 ein, dann passt die Probe nicht. Ich habe oben bereits das richtige Ergebnis ausgerechnet: v_1=(0,y,-y)

Dieser Eigenraum hat die geometrische Vielfachheit 1 (weil nur ein Freiheitsgrad y)

und dieser ist kleiner der algebraischen Vielfachheit von -1 (war 2 weil doppelter Eigenwert). Also ist f nicht diagonalisierbar.

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Habs nochmal nachgerechnet und ich komme immer auf die Eigenvektoren für λ₁= -1 auf \( \begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix} \)

bei λ₂= 2 auf \( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \)

Was an sich ja nichts an der diagonalisierbarkeit von f ändert das f eben nicht diagonailiserbar ist.