ist (v1,v2,...,vn-1) linear unabhängig, so existiert ein v E V, sodass (v1, v2,...,vn-1,v) eine Basis von V ist

Question

p { margin-bottom: 0.25cm; line-height: 120%; }Sei K ein Körper und m,n E N. Ferner seien V,W zwei K-Vektorräume.

ich muss bestimmen, ob die folgende Aussage falsch oder wahr ist:

Ist die Dimension von V gleich n und ist das System (v1,v2,...,vn-1) linear unabhängig, so existiert ein v E V, sodass (v1, v2,...,vn-1,v) eine Basis von V ist.

Ich glaube es ist falsch, weil V endliche erzeugt ist und dann gibt es endliche unabhängige Familie. Von daher (v1, v2,...,vn-1,v) ist nicht linear unabhängig und keine Basis.

Stimmt das?

Vielen Dank

Answer 1

Die Aussage ist wahr.  Jede lin. unabh. Familie läßt sich zu einer Basis

ergänzen.  Und wegen dim=n fehlt bei deiner Familie nur einer.