Sind v1,v2,v3 linear unabhängig? in C^3

Question

In \( \mathbb{C}^{3} \) seien die folgenden Vektoren gegeben:

\( v_{1}=\left(\begin{array}{c}1-2 \mathrm{i} \\ 3 \mathrm{i} \\ -1+\mathrm{i}\end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -\mathrm{i}\end{array}\right) \)  \( v_{3}=\left(\begin{array}{c}-2+\mathrm{i} \\ -3 \\ -1\end{array}\right) \)

(a) Sind \( v_{1}, v_{2}, v_{3} \) linear unabhängig?

Ansatz/ Problem:

Wie gehe ich mit der Matrix um?

a1*v1+a2*v2+a3*v3=0

⇒

1-2i	4	-2+i
3i	0	-3
-1+i	-i	-1

>Bedeutet eine 0-Zeile/Spalte nicht automatisch, dass die Vektoren linear abhängig sind?

> Ist die Schlussfolgerung also falsch?: V1, V2, V3 sind linear unabhängig, das a1=a2=a3=0 und somit gibt es nur die triviale Lösung

Comments

Du hast offenbar nur zwei der drei gegebenen Vektoren angegeben und anschließend wenigstens eine Verwechslung und einen Vorzeichenfehler gemacht.

Soll v1 = v2 sein, dann sind v1, v2 und v3 offenbar linear abhängig ....

Korrigiere dies bitte zuerst einmal .....

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Ich habe versucht, es in Stufenform zu bringen. Ich hoffe, ich hab mich nicht verrechnet.

\( \begin{pmatrix} 1-2i & 4 & -2+i \\ 3i & 0 &-3 \\ -1+i&-i&-1 \end{pmatrix} \)

Zeile 1 : (1-2i)

-->\( \begin{pmatrix} 1& 4/(1-2i) & -2+i/(1-2i) \\ 3i & 0 &-3 \\ -1+i&-i&-1 \end{pmatrix} \)

Zeile 2*(-1+i) - Zeile 3* (3i)

-->\( \begin{pmatrix} 1& 4/(1-2i) & -2+i/(1-2i) \\ 0 & -3 &1-3i \\ -1+i&-i&-1 \end{pmatrix} \)

Zeile 2 : (-3)

-->\( \begin{pmatrix} 1& 4/(1-2i) & -2+i/(1-2i) \\ 0 & 1 &1-3i/(-3) \\ -1+i&-i&-1 \end{pmatrix} \)

Zeile 3-Zeile1*(-1+i)

-->\( \begin{pmatrix} 1& 4/(1-2i) & -2+i/(1-2i) \\ 0 & 1 &1-3i/(-3) \\ 0&2-5i/(1-2i)&-2+5i/(1-2i) \end{pmatrix} \)
Zeile 3-Zeile2* \( \frac{2-5i}{1-2i} \)

-->\( \begin{pmatrix} 1& 4/(1-2i) & -2+i/(1-2i) \\ 0 & 1 &1-3i/(-3) \\ 0&0&\frac{11-42i}{9+12i} \end{pmatrix} \)

Zeile 3 : \( \frac{11-42i}{9+12i} \)

-->\( \begin{pmatrix} 1& 4/(1-2i) & -2+i/(1-2i) \\ 0 & 1 &1-3i/(-3) \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \)

Ist das richtig?Wie werte ich das aus?