Aufgabe:
Sei V ein K-Vektorraum. Zeigen oder widerlegen Sie:
a) Ist (v1, . . . , vn) ∈ Vn linear unabhängig, so bildet es eine Basis von ⟨v1, . . . , vn⟩.
b) Ist (v1, . . . , vn) ∈ Vn linear abhängig, so ist bereits (v1, . . . , vn-1) linear unabhängig oder vn ∈ ⟨v1, . . . , vn-1⟩K.
Problem/Ansatz:
a) zeigen, b) widerlegen geht schon mit V=R^3
lul
a) Da v1... lineare unabhängig ist, existiert eine Basis, bei der die Vektoren eine Teilmenge sind. Da aber die Mächtigkeit der linear unabhängigen Vektoren n beträgt und die Dimension des Vektorraum gleich n ist, müssen die Vektoren die Basis sein
(ist ja auch logisch. Sei M:={2, 3, 4, 5} und A:={2, 3, 4, 5}. Wir sehen, dass M Teilmenge von A ist und dass |M| = |A|. Also ist M=A.)
Hallo Erdbeere
1. Von V ist nicht gesagt, dass es n- dimensional ist. der richtige Beweis steht bei ermanus.
was das mit 2 gleichen Mengen zu tun hat, verstehe ich nicht.
Zu (a):
\((v_1,\dots, v_n)\) ist nach Definition
von \(\langle v_1,\dots,v_n\rangle\) ein Erzeugendensystem.
Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist eine Basis.
Ein anderes Problem?
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