Sei V ein K-Vektorraum. Zeigen oder widerlegen Sie :

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum. Zeigen oder widerlegen Sie:

a)   Ist (v₁, . . . , v_n) ∈ Vⁿ linear unabhängig, so bildet es eine Basis von ⟨v₁, . . . , v_n⟩.

b)    Ist (v₁, . . . , v_n) ∈ Vⁿ linear abhängig, so ist bereits (v₁, . . . , v_n-1) linear unabhängig oder  v_n ∈ ⟨v₁, . . . , v_n-1⟩_K.

Problem/Ansatz:

Comments

a) zeigen, b) widerlegen geht schon mit V=R^3

lul

Answer 1

a) Da v1... lineare unabhängig ist, existiert eine Basis, bei der die Vektoren eine Teilmenge sind. Da aber die Mächtigkeit der linear unabhängigen Vektoren n beträgt und die Dimension des Vektorraum gleich n ist, müssen die Vektoren die Basis sein

(ist ja auch logisch. Sei M:={2, 3, 4, 5} und A:={2, 3, 4, 5}. Wir sehen, dass M Teilmenge von A ist und dass |M| = |A|. Also ist M=A.)

Comments

Hallo Erdbeere

1. Von  V ist nicht gesagt, dass es n- dimensional ist. der richtige Beweis steht bei  ermanus.

was das mit 2 gleichen Mengen zu tun hat, verstehe ich nicht.

lul

Answer 2

Zu (a):

\((v_1,\dots, v_n)\) ist nach Definition

von \(\langle v_1,\dots,v_n\rangle\) ein Erzeugendensystem.

Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist eine Basis.