Ist die lineare Abbildung zu folgenden Matrizen injektiv und/oder surjektiv?

Question

Jede der folgenden Matrizen über ℝ bestimmt eine lineare Abbildung: $$ A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$$$ B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} $$ $$ C=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$Untersuche für jede Matrix allein anhand der Spalten ob die dazugehörige lineare Abbildung injektiv, surjektiv, bijektiv ist.Wäre toll, wenn mir jemand erklären könnte wie man da genau vorgeht.

Answer 1

Injektiv falls A(x) = A(y) nur mit x=x gilt. sprich mit x=(0,0) und y(0,1) wäre die erste Bedingung erfüllt, jedoch ist x nicht gleich y.

Surjektivität zeigst du indem du den ganzen Raum triffst. Du triffst bei A z.B. (0,1) nicht. Deswegen ist es weder injektiv noch surjektiv.

Wenn du das anhang der Spalten machen willst dann brauchst du für Surjektivität, falls A nach R^2 geht 2 linear unabhängige Vektoren. bei r^3 entsprechen 3.

Für injektiv muss es glaub ich genau soviele sein aber nicht mehr.

A ist weder noch

B ist weder noch

C ist surjektiv aber nicht injektiv da wir 4 Vektoren haben