Ist die folgenden Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv? R^2 -> R^2 mit (x,y) -> (4y-1, 5x)

Question

Aufgabe:

Ist die folgenden Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv? Man berechne, falls möglich, die Umkehrabbildungen.

$$h : R^{2} \rightarrow R^{2}, (x, y) \rightarrow (4y - 1, 5x)$$

Problem/Ansatz:

Mich verwirrt das Vertauschen von x nach y und andersherum maximal.

Wenn ich bei der Surjektivität 4y-1 = a und 5x = b setze. Dann Umforme nach y=(a+1)/4 und x=b/5 und diese dann für f(x,y) einsetze geht das ganze nicht auf. Da ich ja  (4(b/5)-1, 5 ((a+1)/4)) lande und nicht verstehe was ich falsch mache.

Ich wäre sehr dankbar für eine Erklärung.

Answer 1

\(h : R^{2} \rightarrow R^{2}, (x, y) \rightarrow (4y - 1, 5x)\)

Das Paar (x, y) wird abgebildet auf das Paar (4y-1, 5x).

Dann Umforme nach y=(a+1)/4 und x=b/5

Das Paar \((x, y)\) wird abgebildet auf das Paar \((4y-1,\, 5x)\).

Das Paar \(\left(\underbrace{\frac{b}{5}}_{x},\underbrace{\frac{a+1}{4}}_{y}\right)\) wird abgebildet auf das Paar \(\left(4\cdot\underbrace{\frac{a+1}{4}}_{y}-1,\,5\cdot\underbrace{\frac{b}{5}}_{x}\right)\).

Comments

Danke schön!