Ich muss überprüfen, ob eine Abbildung injektiv, bijektiv oder surjektiv ist. Bsp. R^2 → R^2, (x,y) → (xy,x+1)

Question

Ich muss uberprufen, ob f injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. Wenn es bijektiv ist, muss ich die Umkehrabbildung von f angeben.
a) R^2 → R^2, (x,y) → (xy,x+1)
b) R^2 → R^2, (x,y) → (x-y,x+y)

Answer 1

Spät, aber ich versuchs mal für a:

Surjektivität:

$$Sei~~(a,b) \in \mathbb{ R }^2,~~z.z.:~~ \exists (x,y) \in \mathbb{R}^2: x \cdot y = a \land x + 1 = b$$

$$ x + 1 = b \Leftrightarrow x = b - 1~~ \land ~~ x \cdot y = a \Leftrightarrow ( b - 1 ) \cdot y = a \Leftrightarrow y = \frac{a}{b-1} $$

Wegen der Divison durch 0 folgt, dass es z.B. kein ( x, y ) gibt, das auf ( 1, 1 ) abbildet.

Die Abbildung ist also nicht surjektiv, da nicht jedes Element aus dem Wertebereich getroffen wird.

Injektivität:

$$Seien~~a := (x_1, y_1), b := (x_2, y_2) \in \mathbb{ R }^2,~~z.z.: f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$$

$$f(a) = f(b) \Rightarrow x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 \land x_1 + 1 = x_2 + 1$$

$$x_1 + 1 = x_2 + 1 \Leftrightarrow x_1 = x_2$$, also muss x1 = x2 sein. Daraus folgt weiterhin

$$x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2$$, denn für x1 = x2 = 0 ist die Gleichung so oder so erfüllt und für x1 = x2 ungleich 0 kann man durch x1 bzw. x2 dividieren und erhält y1 = y2.

Die Abbildung ist also injektiv.

Da sie nur injektiv, nicht surjektiv ist, ist sie nicht bijektiv.

Comments

injektiv ist a) trotzdem nicht, da man für x1=x2=0 zwar dieGleichung erfüllt hat, jedoch keine Gleichheit von y1 und y2 bekommt.

Dies kann man sich auch an der Funktionsvorschrift veranschaulichen. Wenn man x=0 wählt, wird immer auf den Punkt (0,1) abgebildet, egal welches y man wählt. Somit bilden unendlich viele Punkte auf (0,1) ab und die Funktion kann auch nicht injektiv sein.

zu b):

Surjektivität:

Sei (a,b)∈ℝ², so muss man zeigen:

Es existiert (x,y)∈ℝ², so dass x-y=a und x+y=b gilt.

x-y=a ⇔ x=a+y

x+y=b ⇒ (a+y)+y=b ⇔ y=(b-a)/2

⇒ x=a+(b-a)/2 ⇔ x=(b+a)/2

Somit sind sowohl x, als auch y für alle a,b darstellbar und die Funktion ist surjektiv.

Injektivität:

Mit a=(x1,y1) und b=(x2,y2) ist zu beweisen:

f(a)=f(b) ⇒ a=b

dadraus folgt: x1-y1=x2-y2 und x1+y1=x2+y2

x1-y1=x2-y2 ⇔x1=x2-y2+y1

x1+y1=x2+y2 ⇒ (x2-y2+y1)+y1=x2+y2 ⇔ 2(y1)=2(y2) ⇔ y1=y2

⇒ x1=x2-y1+y1 ⇔ x1=x2

Somit ist die Funktion auf injektiv.

Da die Funktion bijektiv ist, existiert die Umkehrabbildung. Diese wurde auch schon im Surjektivbeweis berechnet (a und b muss man nur durch x und y ersetzen) und kann jetzt nur noch angegeben werden:

f^-1(x,y)=((y+x)/2,(y-x)/2)