Bestimmen Sie ob die Funktion injektiv, surjektiv, bijektiv und bestimmen Sie gegebenenfalls die Umkehrfunktion

Question

Hallo zusammen, ich komme bei folgender Aufgabe leider nicht weiter und wäre über eine Hilfe sehr dankbar:

Untersuchen Sie, ob die Abbildung f : R² → R² , gegeben durch
f ( x1 , x2 ) = ( x1 + x2 , x1 − x2 )
injektiv, surjektiv, bijektiv ist. Bestimmen Sie gegebenenfalls die Umkehrfunktion.

Problem/Ansatz:

Und zwar ist eine Abbildung ja injektiv, wenn x1=x2 und f(x1)=f(x2) ist. Ich tue mich hier aber schwer, da bereits 2 Variablen in der Aufgabe stehen. Kann ich sagen, dass gelten muss x1= y1 und x2=y2 sowie f(x1)=f(y1) und f(x2)=f(y2) und dann dass separat aufschreiben, also:

x1 + x2 = y1 + y2  und x1 - x2 = y1 -y2 aber wie würde ich dann weiter machen, da ich ja am Ende zeigen möchte, dass x1 = y1 ist, dürfte ich dafür das Additionsverfahren verwenden?

x1 + x2 = y1 + y2

x1 - x2 = y1 -y2

_______________

2x1 = 2y1 → x1 = x2  (für x2 und y2 könnte man das dann analog lösen). Daraus würde folgen, dass es injektiv ist.

Was die Surjektivität angeht, weiß ich leider gar nicht weiter, ich muss ja untersuchen, ob alle Werte in der Zielmenge getroffen werden, und würde normal die Gleichung mit y gleichsetzen und dann nach x auflösen. Da weiß ich aber nicht, wie ich das mit dem x1 und x2 nun mache. Die Umkehrfunktion köntnte man daraus dann ja wiederum ableiten.

Ob die Funktion dann bijektiv ist, ist mir wieder klar, wie ich das lösen soll, dafür muss ich ja nur schauen, ob die Funktion surjektiv und injektiv ist.

Vielen Dank an Eure Hilfe vorab!

Comments

injektiv, wenn x1=x2 und f(x1)=f(x2) ist.

Das ist sicher nicht so. Schau dir die Definition von

"injektiv" genauer an!

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Tipp: Es ist f∘f = 2id.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2\,,\,\binom{x_1}{x_2}\mapsto\binom{x_1+x_2}{x_1-x_2}$$

1) Injektivität

Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird.

Wir nehmen an, es gibt zwei (verschiedene) Argumente \(\vec x=\binom{x_1}{x_2}\) und \(\vec y=\binom{y_1}{y_2}\), die dassselbe Ziel haben und zeigen, dass daraus \(\vec x=\vec y\) folgt:$$f(\vec x)=f(\vec y)\implies\binom{x_1+x_2}{x_1-x_2}=\binom{y_1+y_2}{y_1-y_2}$$Das liefert zwei Gleichungen:$$\red{x_1+x_2=y_1+y_2}\quad\land\quad\green{x_1-x_2=y_1-y_2}$$Diese Gleichungen können wir addieren:$$(\red{x_1+x_2})+(\green{x_1-x_2})=(\red{y_1+y_2})+(\green{y_1-y_2})\implies 2x_1=2y_1\implies x_1=y_1$$und wir können diese Gleichungen subtrahieren:$$(\red{x_1+x_2})-(\green{x_1-x_2})=(\red{y_1+y_2})-(\green{y_1-y_2})\implies 2x_2=2y_2\implies x_2=y_2$$Aus \(f(\vec x)=f(\vec y)\) folgt also \(\vec x=\vec y\). Daher ist die Funktion injektiv.

2) Surjektivität

Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestes 1-mal getroffen wird.

Wir nehmen uns also ein \(\vec y=\binom{y_1}{y_2}\) aus der Zielmenge \(\mathbb R^2\) und prüfen, ob es ein \(\vec x=\binom{x_1}{x_2}\) aus der Definitionsmenge \(\mathbb R^2\) gibt, das dieses trifft:$$\vec y\stackrel?=f(\vec x)\implies\binom{y_1}{y_2}=\binom{x_1+x_2}{x_1-x_2}$$Das liefert uns wieder 2 Gleichungen:$$\red{y_1=x_1+x_2}\quad\land\quad\green{y_2=x_1-x_2}$$Wie oben addieren wir die beiden Gleichungen:$$\red{y_1}+\green{y_2}=(\red{x_1+x_2})+(\green{x_1-x_2})=2x_1\implies x_1=\frac{y_1+y_2}{2}$$und subtrahieren sie auch wieder:$$\red{y_1}-\green{y_2}=(\red{x_1+x_2})-(\green{x_1-x_2})=2x_2\implies x_2=\frac{y_1-y_2}{2}$$

Damit haben wir ein passendes \(\vec x\) gefunden, das \(\vec y\) trifft. Die Funktion ist surjektiv.

3) Umkehrabbildung

Da die Funktion injektiv und surjektiv ist, wird jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen. Daher ist das in (2) brechnete Element \(\vec x\) das einzige, das \(\vec y\) trifft. Zur Bildung der Umkehrabbildung müssen wir also nur \(x\) und \(y\) vertauschen:$$f^{-1}\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2\,,\,\binom{x_1}{x_2}\mapsto\frac12\binom{x_1+x_2}{x_1-x_2}$$

Comments

Ah, vielen lieben Dank für die ausführliche und sehr verständliche Erklärung!!! Habe jetzt alles verstanden :).

Answer 2

Hallo,

zur Surjektivität:

Sei \( y=(y_1,y_2)\in\mathbb{R}^2 \). Setze \( x= 1/2 \cdot (y_1 + y_2, y_1 - y_2) \).

Dann ist \( f(x) = y \) also \(f\) surjektiv.

Comments

Danke für die Hilfe!

Was ich aber ncoht verstehe, wo die 1/2 vor der Klammer herkommt? Vielleich kannst Du mir da nochamal auf die Sprünge helfen :).