Zeigen Sie: Wenn h surjektiv ist, ist h⊤ : W∗ → V∗ injektiv.

Question

Sei h : V → W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie:
a) Wenn h surjektiv ist, ist h^⊤ : W^∗ → V^∗ injektiv.
b) Wenn h injektiv ist, ist h^⊤ : W^∗ → V^∗ surjektiv.

Answer 1

a) Da \(h^T\) linear ist, zeigen wir, dass sein Kern nur aus dem Null-Funktional besteht. Sei also für ein \(w^*\in W^*\): \(h^Tw^*=0\) in \(V^*\). Dann gilt für alle \(y \in W\): Es existiert \(x \in V\) mit \(h(x)=y\), also

$$w^*(y)=w^*(h(x))=h^Tw^*(x)=0$$