Bestimmen Kern(f) und Im(f). Ist f injektiv? surjektiv?

Question

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Aufgabe 45
(a) Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) die lineare Abbildung mit
\( f(x, y)=(x-y, x+y, x-y) . \)
Bestimmen Sie \( \operatorname{Kern}(f) \) und \( \operatorname{Im}(f) \). Ist \( f \) injektiv? surjektiv?
(b) Sei \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) die lineare Abbildung mit
\( f(x, y, z)=(x+z, 2 y-x, z+y, x+y+2 z) \text {. } \)
Bestimmen Sie \( \operatorname{Kern}(f) \) und \( \operatorname{Im}(f) \). Ist \( f \) injektiv? surjektiv?

Problem/Ansatz:

Hey könnte mir hier wer weiterhelfen wie ich Im(f) finde und ob es injektiv oder surjektiv ist? Bin mir zwar nicht sicher aber der Kern wäre meiner Meinung nach 0, bitte bessert mich aus falls ich falsch liege.

Answer 1

(x,y) im Kern wenn gilt

x-y=0    und  x+y=0     und x-y=0

folgt in der Tat x=y=0 also Kern = {(0,0)} ✓

Bild: Die sehen alle so aus

(x-y, x+y, x-y)=  x*(1,1,1) + y*(-1,1,-1) 

Also ist (1,1,1) , (-1,1,-1) eine Basis des Bildes.

Also injektiv ( wegen Kern = {(0,0)} )  aber

nicht surjektiv, da dim(Bild)=2 aber der Zielraum hat dim=3.